74.5. Аналитическая функция. Дифференциал

Фундаментальным понятием в теории функций комплексного пе­

ременного является понятие аналитической функции.

Е§] Однозначная функция 1(z) называется анаJtuтu'Ч,ес1СОU (голо-

морфной) в тО'Ч,1Се z, если она дифференцируема (выполнены условия Эйлера-Даламбера) в некоторой окрестности этой точки.

Функция j(z) называется анаJtuтu'Ч,ес1СОU в оБJtастu D , если она

дифференцируема в каждой точке z Е D.

Как видно из этого определения, условие аналитичности в тО'Ч,1Се

не совпадает с условием дифференцируемости функции в этой же точке

(первое условие - более сильное).

Точки плоскости z, в которых однозначная функция j(Z) анали­

тична, называются nравильны.ми точками j(z). Точки, в кото­

рых функция f(z) не является аналитической, называются особы.ми

точками этой функции.

Пусть функция w = j(z) аналитична в точке z. Тогда lim

= 1'(z). Отсюда следует, что i

Тогда приращение функции можно записать так: д.w = 1'(z)д.z + ад.z.

Если 1'(z) "1- о, то первое слагаемое 1'(z)д.z является при Az

бесконечно малой того же порядка, что и д.z; второе слагаемое ад.z

есть бесконечно малая более высокого порядка, чем д.z. Следователь­ но, первое слагаемое составляет главную часть приращения функции

Дифференциало,м, dw аналитической функции w = j(z) в точке z называется главная часть ее приращения, т. е. dw = 1'(z)д.z,

или dw = 1'(z)dz (так как при w = z будет dz = z' д.z = д.z). Отсюда

следует, что l' (z) =

, т. е. производная функции равна отношению

дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

За.ме'Ч,а'Н:uе. Если функция j(z) = и(х;у) + iv(x;y) аналитична в некоторой области D, то функции и(х; у) и v(x; у) удовлетворяют диф-

ференциальному уравнению Лапласа (д?" д1l О, см. п. 72.2).

О Действительно, дифференцируя первое из равенств Эйлера-Далам­

бера по у, а второе по х, получаем:

д 2 и a 2 v a 2 v д 2 и

откуда дх 2 + д у 2 -

и v(x; у) являются гармоnu'Ч,еСI>UМU фуn","v,шмu.

При,м,ер 74.3. Проверить, является ли функция w = z2 аналити­

ческой. Найти ее производную.

а Решение: Находим действительную Re w = и и мнимую 1т w = v

w = z2 = (х + iy)2 = х 2 _ у2 + 2ixy.

Таким образом, u = х 2 - у2, V = 2ху. Проверяем условия Эйлера-Да­

Условия (74.5) выполняются во всех точках комплексной плоскости z. Функция w = Z2 дифференцируема, следовательно, аналитична во

всех точках этой плоскости. Ее производную найдем по одной из фор­ мул (74 .6), например по первой:

(2ху) = 2х + i2y = 2(х + iy) = 2z,

Заметим, что производную функции w = Z2 можно найти, восполь­

зовавшись определением производной (74.4):

Прu.мер 74.4. Найти аналитическую функцию w = u + iv по ее

заданной действительной части u = х З - Зху2 + 2.

Q Решение: Отметим, что функция u является гармонической Функ-

циеl'l , . (/1 и хх = 6 х, и уу /1 = - 6 х, следовательно, и хх /1 + и уу /1 = О) .

Для определения мнимой части v воспользуемся условиями

Эйлера-Даламбера (74.5). Так как g

то, согласно первому условию, g

= Зх 2 - Зу2. Отсюда, интегрируя по

dy = J (зх 2 - З у 2) dy = Зх 2 у - уЗ + rp(x).

Для определения функции <р(х) воспользуемся вторым условием

Эйлера-Даламбера. Так как

ду == (х З - З ху 2 + 2)

= (зх 2 у - уЗ + rp(x))

то -6ху = -(6ху + rp'(x)) . Отсюда <р'(х) = О и rp(x) = С, где С = const.

Поэтому v = Зх 2 у - уЗ + С. Находим функцию w = и. + iv:

w = u + iv = х з - З ху 2 + 2 + i(зх 2 у - уЗ + С) =

= х З +iзх 2 у- Зху2 _iуЗ + 2+ Ci = (х+iу)З +2+iC = zЗ + 2+iC. •

74.6. Геометрический СМЫСЛ МОАУЛЯ и аргумента ПРОИЭВОАНОЙ.

Понятие О конформном отображении

Пусть функция w = j(z) аналитична в точке Zo и f'(zo) =1- о. Вы­

ясним геометрический смысл аргумента и модуля производной.

Функция w = j(z) отображает точку Zo плоскости z в точку

Wo = j(zo) плоскости w.

Пусть произвольная точка z = Zo + .6.z из окрестности точки Zo

перемещается к точке Zo по некоторой непрерывной кривой [. Тогда в

плоскости w соответствующая точка w = Wo +.6.w будет перемещаться

к точке Wo по некоторой кривой L, являющейся отображением кривой l в плоскости w (рис. 285).

По определению производной f'(zo) = lim

W. Отсюда следует,

что If'(zo)1 = I lim

WII. Величина l.6.zl =

= Iz - zol представляет собой расстояние между точками Zo и Zo + .6.z,

а l.6.wl - расстояние между точками Wo и Wo + .6.w. Следовательно, If'(zo)1 есть предел отношения бесконечно малого расстояния между

отображенными точками Wo и Wo + .6.w к бесконечно малому рассто­

янию между точками Zo и Zo + .6.z. Этот предел не зависит (J(z) ана­

литична в точке zo) от выбора кривой [, проходящей через точку zo.

Следовательно, предел lim II

WII = If'(zo)1 в точке Zo постоянен, т. е .

одинаков во всех направлениях.

Отсюда вытекает геометрический смысл модуля производной: величина If'(zo)1 определяет коэффициент растяжения (подобия) в

точке Zo при отображении w = j(z). Величину If'(zo)1 называют 1Соэф­

фuцuенmо-м расm.я;нcенu.я, если Ij'(zo)1 > 1, или 1Соэффuцuенmо-м

СJtCаmu.я, если If'(zo)1 < 1.

Прu-мер 74.5. Найти коэффициент растяжения (сжатия) для

z2 В точке Zo = 3 - 4i.

Q Решение: Функция w = !z2 аналитична в точке Zo = 3 - 4i, при

этом w' = z. Следовательно, 1!,(zo)1 = Izol = 13 - 4il = 5 > 1. Коэффи­

циент растяжения для функции w = !z2 В точке Zo равен 5 (плоскость

Для аргумента производной в точке Zo имеем:

где 0!1 и 0!2 - углы, которые образуют касательные к кривым [ и L

соответственно в точках Zo, и Wo с положительными направлениями

действительных осей на плоскостях z и w (см. рис. 285).

Отсюда (>:2 = 0!1 +arg!,(zo). Это означает, что arg !'(zo) - это угол,

на который нужно повернуть касательную к кривой 1 в точке Zo для того, чтобы получить направление касательной к кривой L в точке wo.

Другими словами, arg!, (zo) - это угол между отображенным и пер­

воначальным направлениями касательных к кривым [ и L в точках Zo и Wo соответственно. В этом состоит геометрический смысл аргумента

производной arg !' (zo).

в силу аналитичности функции j(z) в точке Zo (мы предположи­

ли, что j(zo) f:. О) угол arg !'(zo) один и тот же для всех кривых, про­

ходящих через точку zo. Для другой пары кривых 11 и L 1 В тех же

точках Zo и Wo будем иметь arg !'(zo) = O!

= ер. Таким образом, arg !' (zo) = 0!2 - (): 1 = O!

, т. е. если кривые 1 и [1 образуют в точке Zo на плоскости z угол ер = arg !,(zo), то такой же угол ер = arg !'(zo) будут

образовывать в точке Wo кривые L и L l , являющиеся отображениями

кривых 1 и 11 на плоскости w (см. рис. 286).,

Это свойство отображения w = j(z) называется своv.сmво-м сохра­

нения (-к;онсерваmuз-ма) углов в точке zo.

Отображение w = j(z), обладающее свойством сохранения углов и

постоянством растяжений в точке zo, называется 'lCонфОР.м:н.'ы.лt

Для продолжения скачивания необходимо собрать картинку:



Уравнение прямой с угловым коэффициентом