Арифметические операции над комплексными числами

На множестве комплексных чисел определены следующие арифметические операции:

1) сложение (вычитание)

Сумму (разность) комплексных чисел z1= х1+iу1 и z2= х2+iу2получают путем сложения (вычитания) их действительных и мнимых частей:

2) умножение комплексных чисел

3) деление комплексных чисел

Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное делителю:

Например, пусть z1= 7 + 2i и z2= 3 –i. Тогда Re(z1) = 7, Im(z1) = 2; Re(z2) = 3, Im(z1) = -1. Найдем сумму, произведение и частное этих комплексных чисел.

.

Комплексная плоскость

Если для геометрического изображения действительных чисел используются точки числовой прямой, то для изображения комплексных чисел служат точки комплексной координатной плоскости.

Плоскость называется комплексной, если каждому комплексному числу z = x + iy ставится в соответствие точка плоскости z= (x, y), причем это соответствие взаимно однозначное (рисунок 7.5).

Рисунок 7.5 – Комплексная плоскость

Оси абсцисс и ординат, на которых расположены действительные числа z = х + 0*i = х и чисто мнимые числа z = 0 + iy = iy, называются соответственно действительной и мнимой осями.

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

С каждой точкой z = (х, у) комплексной плоскости связан вектор с концом в этой точке и началом в начале координат. Его называют радиус-векторомэтой точки, а его длинуrназываютмодулем комплексного числаz и обозначают |z| (см. рисунок 7.5):

Угол , образованный радиусом-вектором с осью абсцисс, называютаргументом комплексного числаи и обозначаютArgz(-<Argz≤).

Из рисунка 7.5 видно, что x=rcos,y=rsin. Следовательно,

Такое представление комплексного числа в виде называют тригонометрической формой комплексного числа.

Свойства арифметических операций над комплексными числами:

1. При сложении (вычитании) комплексных чисел их радиусы-векторы складываются (вычитаются) по правилу параллелограмма (рисунок 7.6).

Рисунок 7.6 – Сложение и вычитание комплексных чисел

2. Модуль произведения (частного) двух комплексных чисел равен произведению (частному) модулей этих чисел, а его аргумент - сумме (разности) аргументов этих чисел, т.е.

Геометрически умножение числа z1наz2означает изменение длины радиуса-вектораr1(илиr2) вr2(илиr1) раз и его поворот вокруг начала координат против часовой стрелки на угол2(или1).

[r(cos ф + /sin ф)Р = rn (cos щ + fsiii /кр). (16.9)

ОПример 16.3. Найти (-1+020

Ре ше ни е. В примере 16.2 мы получили, что -1 + / =

= v2| cos— + /sin — I. Поэтому по формуле Муавра (16.9)

Ы Зя . Зя) V2 cos— + /sin —

i г-\20Г Г Зя\ ( * Зя"\

Тогда, используя определение корня и формулу Муавра (16.9), получим

г(сов'ф + /вшф) = pw(cosn\|/ + /sinwv|/).

Отсюда следует, что

рл = г и ЛХ|/ ==ф + 2я&, где keZ

Итак, р = Щг и \|/ = , к е Z,

^г =^г(со8ф+/8Шф) =^Н cos +/sin 1, (16.10)

При £= л, л+1, . значения корня уже будут повторяться.

Таким образом, корень п-ой степени из комплексного числа (не равного нулю) имеет п различных значений.

^Пример 16.4. Найти ^-1 + 1.

Р е шен и е. В примере 16.2 было получено

r = -l+/ = V2 cos—+/8Щ—I. По формуле (16.10)

откуда получаем три значения корня

= 1024(со815я + /sin Ш) = 1024 (-1 + 0/) = -1024. ►

Обратимся к извлечению-корня из комплексного числа.

На комплексной плоскости най¬денные значения корня представляют равноотстоящие друг от друга точки zb ?2, ?ь расположенные на окружности

Связь между тригонометрическими и показательными функциями выра¬жается формулой Эйлера1.

Отсюда следует показательная фор¬ма комплексного числа:

В заключение отметим, что в показательной форме, так же как и в тригонометрической, легко проводить операции умноже¬ния, деления, возведения в степень, извлечение корня из ком¬плексных чисел.

2 Здесь в слове «комплексное» ударение ставится на втором слоге.

Для продолжения скачивания необходимо собрать картинку:



Понятие об обратной функции
Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать