Лекция № 5

5.5. Действия над векторами, заданными проекциями

Линейные операции над векторами

Так как линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можно записать:

2. l а = l ах • i + l ау • j + l az • k или короче l а = ( l ах; l ау; l аz). То есть при умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр.

Из определения вектора как направленного отрезка, который можно передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что два вектора а и b равны тогда и только тогда, когда выполняются равенства: aх= bх; ау=by; az= bz , т. е.

Выясним условия коллинеарности векторов а и b , заданных своими координатами.

Так как а || b , то можно записать а = l • b , где l -некоторое число. То есть

Таким образом, проекции коллинеарных векторов пропорциональны. Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорциональные координаты, коллинеарны.

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Oxyz. Для любой точки М координаты вектора ОМ называются координатами точки М. Вектор ОМ называется радиус-вектором точки

М, обозначается r , т. е. ОМ = r . Следовательно, координаты точки — это координаты ее радиус-вектора

Координаты точки М записываются в виде М(х; у; z ).

Координаты вектора Найдем координаты вектора а = АВ , если известны координаты точек A( x1; y1; z1) и В( x22; z2). Имеем (см. рис. 13):

AB = OB - OA =(x2 i +y2 j +z2 k )-(x1 i +y1 j +z1 k )=(x2 - x1) i +(y2 - y1) j +(z2 - z1) k

Следовательно, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала: АВ = (х2121; z2- z1).

6. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА

6.1. Определение скалярного произведения

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла междуними.

Обозначается ab , а * b (или( а , b )).Итак, по определению,

Формуле (6.1) можно придать иной вид. Так как | a | cos g =пр b a, (см. рис.14), a | b | cos g = пр a b, то получаем:

т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.

6.2. Свойства скалярного произведения

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab = ba

5. Если векторы а и b (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a ^ b , то ab = 0 . Справедливо и обратное утверждение: если ab = 0 и а ¹ 0 ¹ b , то а ^ b

.

6.3. Выражение скалярного произведения через координаты

Пусть заданы два вектора

Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i , j , k :

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

6.4. Некоторые приложения скалярного произведения

Угол между векторами

Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов а и b :

Проекция вектора на заданное направление

Нахождение проекции вектора а на направление, заданное вектором b , может осуществляться по формуле

Работа постоянной силы

Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием постоянной силы F , образующей угол j с перемещением АВ = S (см.рис. 15).

Из физики известно, что работа силы F при перемещении S равна

А = F • S •cos j т . е . А =( F • S ).

Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

7. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА

7.1. Определение векторного произведения

Три некомпланарных вектора a , b и с , взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с , который:

1. Перпендикулярен векторам a и b , т. е. с ^ а и с ^ b ;

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах (см. рис. 17), т. е.

3. Векторы a , b и с образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается а х b или [ а , b ]. Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i , j и k (см. рис. 18):

i х j = k , j х k = i , k х i = j .

Докажем, например, что i х j = k .

2) | k |=1, но | i x j | = | i | • | J | • sin(90°)=1;

3) векторы i , j и k образуют правую тройку (см. рис. 16).



Теория поля