Длина дуги и ее производная

Определение длины дуги кривой

Рассмотрим в пространстве дугу $\cup AB$ некоторой кривой. Точками $M_ <0>$, $M_ <1>$, $M_ <2>$, . , $M_ $, $M_ $ разобьем её на $n$ произвольных последовательных участков. Соединим соседние точки отрезками прямых и получим вписанную в дугу $\cup AB$ ломаную, в которой $M_ <0>$ совпадает с точкой $A$, а $M_ $ совпадает с точкой $B$. Эта ломаная состоит из звеньев $M_ <0>M_ <1>$, $M_ <1>M_ <2>$, . , $M_ M_ $, . , $M_ M_ $.

Обозначим длины звеньев этой ломаной следующим образом: длина $M_ <0>M_ <1>=\Delta \; l_ <1>$, длина $M_ <1>M_ <2>=\Delta \; l_ <2>$, . , длина $M_ M_ =\Delta \; l_ $, . , длина $M_ M_ =\Delta \; l_ $. Тогда периметр этой ломаной $l_ =\Delta \; l_ <1>+\Delta \; l_ <2>+\ldots +\Delta \; l_ +\ldots +\Delta \; l_ $ или просто $l_ =\sum \limits _^\Delta \; l_ $.

Будем уменьшать длины всех звеньев за счет увеличения их количества. При этом форма ломаной будет приближается к форме дуги кривой.

на первый заказ!

На этом основании длина дуги кривой определяется так: длиной $l$ дуги называется предел, к которому стремится периметр вписанной в эту дугу ломаной при неограниченном увеличении числа её звеньев и при стремлении к нулю наибольшей из длин её звеньев.

Соответствующее выражение имеет вид: $l=\mathop<\lim >\limits_ <\max \; \Delta \; l_\to 0> \sum \limits _^\Delta \; l_ $.

Кривые, для которых этот предел существует, называются спрямляемыми.

Формулы для длины дуги плоской кривой

Пусть кривая задана между своими точками $A$ и $B$ на отрезке $\left[a,\; b\right]$ уравнением в явном виде $y=f\left(x\right)$, где $f\left(x\right)$ -- непрерывная функция с непрерывной первой производной на этом отрезке. В этом случае длина дуги кривой между точками точками $A$ и $B$ вычисляется по формуле $l=\int \limits _^\sqrt <1+y'^<2>> \cdot dx $.

Найти длину дуги цепной линии $y=\frac<1> <2>\cdot \left(e^ +e^ <-x>\right)$ на отрезке $\left[0,\; 1\right]$.

Находим длину дуги:

Пусть кривая задана параметрическими уравнениями $x=x\left(t\right)$ и $y=y\left(t\right)$, $\alpha \le t\le \beta $. Предположим, что функции $x=x\left(t\right)$ и $y=y\left(t\right)$ и их производные непрерывны при $\alpha \le t\le \beta $, причем $x'\left(t\right)\ne 0$. В этом случае длина дуги кривой вычисляется по формуле $l=\int \limits _<\alpha >^<\beta >\sqrt <\left(x'\left(t\right)\right)^<2>+\left(y'\left(t\right)\right)^ <2>> \cdot dt $.

на первый заказ!

Найти длину одной арки циклоиды $x=t-\sin t$, $y=1-\cos t$, $0\le t\le 2\cdot \pi $.

\[x'=\left(t-\sin t\right)^ <<'>> =1-\cos t; y'=\left(1-\cos t\right)^ <<'>> =\sin t.\]

\[\left(x'\right)^ <2>+\left(y'\right)^ <2>=\left(1-\cos t\right)^ <2>+\left(\sin t\right)^ <2>=2\cdot \left(1-\cos t\right)=4\cdot \sin ^ <2>\frac <2>.\]

Находим длину дуги:

Пусть кривая задана в полярных координатах $\rho =\rho \left(\phi \right)$, $\alpha \le \phi \le \beta $. Предположим, что функция $\rho =\rho \left(\phi \right)$ и её производная непрерывны при $\alpha \le \phi \le \beta $. В этом случае длина дуги кривой вычисляется по формуле $l=\int \limits _<\alpha >^<\beta >\sqrt <\rho ^<2>+\rho '^ <2>> \cdot d\phi $.

Найти длину кардиоиды $\rho =1+\cos \phi $.

Так как кардиоида симметрична относительно полярной оси, то изменяя полярный угол $\phi $ от $0$ до $\pi $, мы получим половину длины кардиоиды.

Находим производную: $\rho '=-\sin \phi $.

\[\rho ^ <2>+\rho '^ <2>=\left(1+\cos \phi \right)^ <2>+\left(-\sin \phi \right)^ <2>=2\cdot \left(1+\cos \phi \right).\]

Находим половину длины кардиоиды:

Полная длина кардиоиды $l=8$.

на первый заказ!

Производная и дифференциал дуги

Пусть в формуле $l=\int \limits _^\sqrt <1+\left(f'\left(x\right)\right)^<2>> \cdot dx $ для длины дуги кривой, заданной в виде $y=f\left(x\right)$, $a\le x\le b$, нижняя граница интеграла $a$ остается постоянной, а верхняя граница изменяется и равна $x$.

В соответствии с теоремой о производной интеграла по верхней границе производная этой функции имеет вид $l'\left(x\right)=\sqrt <1+\left(f'\left(x\right)\right)^<2>> $.

Отсюда получаем дифференциал дуги:

При параметрическом задании функции $x=x\left(t\right)$ и $y=y\left(t\right)$, $\alpha \le t\le \beta $ дифференциал дуги имеет вид $dl=\sqrt <\left(x'\left(t\right)\right)^<2>+\left(y'\left(t\right)\right)^ <2>> \cdot dt$.

При задании функции в полярных координатах $\rho =\rho \left(\phi \right)$, $\alpha \le \phi \le \beta $ дифференциал дуги имеет вид $dl=\sqrt <\rho ^<2>+\rho '^ <2>> \cdot d\phi $.



Понятие обратной функции