Лекция 3 производная функци комплексного переменного план лекции

Лекция 3. Производная функци комплексного переменного.

Производная от функции комплексного переменного. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Дифференциал функции.

Регулярные функции. Условия Даламбера-Эйлера.

Вопрос 1. Производная от функции комплексного переменного. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Дифференциал функции.

Пусть задана функция w = f (z) комплексного переменного. Дадим z = x+ iy приращение . Найдём вызванное этим приращением аргумента приращение функции

Найдём вызванное этим приращением аргумента приращение функции

Если существует предел отношение при стремлении к нулю по любому закону то этот предел называют производной функции f(z) в точке z и обозначается

(1)

Как и в случае действительного переменного постоянный множитель можно выносить за знак производной и справедливы обычные правила дифференцирования суммы произведения и частного функций, правила дифференцирования сложной функции, а также формулы дифференцирования функции действительного переменного.

Рассмотрим геометрический смысл модуля и аргумента производной.

Пусть функция w = f (z) имеет производную в точке z0, причём

Расположим плоскости z и w так, чтобы соответсвенно их действительные и мнимые оси были параллельны и одинаково направлены. Рассмотрим в плоскости z две точки: z0 и и какую-нибудь проходящую через них кривую . В плоскости w им будут соответствовать точки w0 и w0+ w и проходящая через них кривая r. При этом вектору z будет соответствовать вектор w. Принимая во внимание, что модуль частного равен частному модулей, получим:

П

ереходя к пределу, получим:

(2)

Учитывая, что |z| является расстоянием от точки z0 до точки z0 + z, a |w| --- расстоянием между точками w0 и w0 + w заключаем, что величина указывает, в каком отношении в результате отображения изменяются линейные размеры.

Согласно равенству (2) величину естественно назвать коэффициентом растяжения

(если ) или сжатия (если ) в точке z0 при отображении области g, лежащей в плоскости z, в область G, лежащую в плоскости w, осуществляемую функцией w = f (z)

Коэффициент растяжения обозначают , поэтому

(3)

Заметим, что линия выбрана произвольно, и при любом её направлении для данной точки z0

предел отношения равен одному и тому же числу , равному коэффициенту растяжения отображения в точке z0. Таков геометрический смысл модуля производной.

Выясним теперь геометрический смысл аргумента. Имеем:

Но известно, что аргумент частного двух комплексных чисел равняется разности их аргументов, поэтому

а -- угол вектора с осью Ох, а -- угол вектора с осью О1u. Следовательно, разность равна углу между векторами и

Если перейти к пределу при , то секущие MN и AQ (MN - это вектор на рисунке, а AQ - вектор ) будут стремиться к своему предельному положению - к положению касательных MN’ и AQ’, то

будет равен углу между касательными MN’ и AQ’

Заметим, что и здесь направление линии (то есть касательной MN’) выбрано произвольно.

Поэтому любая линия, проведённая чарез точку z0, поворачивается при отображении w = f (z) на один и тот же угол, равный аргументу производной функции f (z), . В этом и заключается геометрический смысл аргумента .

Пусть w = f (z) = z 3 . Найти коэффициент растяжения и угол поворота линий, осуществляемого функцией при отбражении в точке z0 = 2i

Находим производную функции: , а затем её частное значение в точке z0 = 2i:

Отсюда следует, что коэффициент растяжения = 12, а угол поворота =

Выяснить, какая часть комплексной плоскости растягивается, а какая -- сжимается при при отображении с помощью функции

Находим в каждой точке . Отсюда . Для части комплексной плоскости, лежащей внутри окружности |z| = 1, выполняется условие |z| < 1, при котором (за исключением нулевой точки, в которой производная не существует). Поэтому в каждой точке, лежащей внутри окружности |z| = 1, за исключением точки z = 0, происходит растяжение. Часть комплексной плоскости, лежащей вне той же окружности, |z| = 1, очевидно, сжимается, потому что здесь |z| > 1, а следовательно,

Перейдём к понятию дифференциала функции.

Дифференциалом dw функции w = f )z) называтся главная часть её приращения, линейная по отношению к приращению независимой переменной z.

Исходя из определения производной (1), заключаем:

где . Следовательно,

Ввиду того, что произведение является бесконечномалой величиной более высокого порядка, чем , заключаем, что дифференциал функции f (z) равен произведению . Если w = z, то , поэтому дифференциал функции w = f (z) равен:

Вопрос 2. Регулярные функции. Условия Даламбера-Эйлера.

Функция, имеющая производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке.

Расмотрим условия дифференцируемости функции

Пусть функция f (z) = u(x,y)+iv(x,y) определена в некоторой окрестности точки z = x + iy, причём в этой точке функции u (x,y) и v (x,y) дифференцируемы. Тогда для дифференцируемости функции комплексного переменного f (z) в точке z необходимо и достаточно, чтобы в этой точке имели место соотношения:

(1)

Необходимость. Пусть функция w = f (z) дифференцируема в точке z; тогда функция имеет в точке z производную. Поэтому существует предел

и этот предел не зависит от закона стремления к нулю; в частности, при , то есть при стремлении точки к точке z по прямой, параллельной оси Ох, получим:

Выберем теперь другой путь стремления точки к точке z, а именно: z = iy, то есть, устремляя точку к точке z по прямой, параллельной оси 0y, получим:

(3)

Так как предел при не должен зависеть от закона стремления z к нулю, то из (2) и (3) следует, что

или

то есть необходимость доказана.

Достаточность. Функции u (x,y) и v (x,y) по условию теоремы дифференцируемы, то есть имеют полные дифференциалы. Но, как известно из математического анализа, если функции u (x,y) и v (x,y) имеют полный дифференциал, то полное приращение функции может быть представлено в виде:

где (4)

(5)

Заменив на основании условий (1) в числителе правой части на а на получим:

(6)

Так как то и, в силу (4) |1 + i2| стремится к нулю при и , то есть при .

Следовательно, по какому бы закону приращение ни стремилось бы к нулю, из (5) получим:

и достаточность условий (1) для дифференцируемости f (z) доказана.

Замечание. При доказательстве теоремы мы пришли к формуле (2), которая показывает, что дифференцирование функции w = f (z) комплексного переменного z = x + i y по комплексному аргументу z (если оно возможно) равносильно вычислению частных производных по x от u(x,y) и v(x,y). Проверим справедливостиь формулы на конкретном примере. Возьмём, например, функцию w = z2. Дифференцируя по z, получим: . С другой стороны,

Применяя формулу (2), получим:

и

Условия (1) – условия дифференцируемости функции в точке -называются условиями Даламбера – Эйлера или условиями Коши – Римана.

Если однозначная функция дифференцируема не только в данной точке, но и в некоторой окрестности этой точки, то она называется регулярной в данной точке.

Функция, дифференцируемая во всех точках некоторой области, называется регулярной в этой области.

Регулярная функция иначе называется аналитической или голоморфной.

Точки плоскости z, в которых однозначная функция f (z) является регулярной, называют правильными точками этой функции, а точки, в которых функция f (z) не является регулярной, называют особыми точками (в частности точки, в которых f (z) не определена).

Условия Даламбера – Эйлера (1) являются условиями регулярности функции в области.

Выяснить, является ли функция w = z 2 регулярной.

.

Условия (1) выполнены во всех точках плоскости z, следовательно, функция w = z 2 является регулярной во всей плоскости.

Выяснить, является ли регулярной функция

Так как , то u +iv = x – iy и u = x; v = -y, откуда следовательно первое из условий (1) нигде в плоскости z не выполняется. Поэтому функция w = z не дифференцируема ни в одной точке плоскости.

Выяснить, является ли регулярной функция w = zRe z.

Так как w = zRe z, то

Условие (1) выполнено только лишь при x = 0 и y = 0. Следовательно, функция w = zRe z дифференцируема только в одной точке z = 0 и нигде не является регулярной.

Вопрос 3. Гармонические функции. Связь аналитических функций с гармоническими.

Пусть функция w = f (z) = u + iv регулярна в области D. Тогда она удовлетворяет условиям Даламбера – Эйлера :

(1)

Дифференцируя первое из этих тождеств по х, а второе по y и складывая, получим:

(2)

Дифференцируя же первое из этих тождеств по y, а второе по х и вычитая, будем иметь:

(3)

Равенства (2) и (3) говорят о том, что функции u (x,y) и v (x,y), являюшиеся соответственно действительной и мнимой частями функции w = f (z), регулярной в некоторой области D, в той же области являются решениями дифференциального уравнения в частных производных:

(4)

Дифференциальное уравнение (4) называется уравнением Лапласа.

Функция, являющаяся решением уравнения Лапласа, называется гармонической. Следовательно, действительная и мнимая части регулярной функции являются гармоническими функциями.

Найти регулярную функцию w = f (z), если известно, что её действительная часть u = x2 – y2 + x и w(0) = 2i.

Находим . По услови , имеем:

, откуда:

С другой стороны, из условия задачи следует, что поэтому откуда следует, что и (x) = C = Const.

Итак, v = 2xy + y + C и, следовательно,

w = u + iv = x2 – y2 + x + i (2xy + y + C).

По условию w (0) =2i; воспользуемся этим для определения С:

Откуда C = 2 и w (z) = (x2 – y2 + x) + (2xy + y + z)

Сравнивая эту функцию с функцией

z2 + z = (x + iy)2 + x + iy = (x2 – y2 + x) + i (2xy + y),

Вопрос 4. Конформные отображения

Пусть функция w = f (z) регулярна в области D. Тогда согласно определению регулярности функции в области функция дифференцирруема в каждой точке z0 области D, то есть она имеет конечную производную в каждой точке z0 области. Поэтому производная

не зависит от того, по какому закону, то есть по какой кривой точка z0 + z стремится к точке z0. Отсюда следует, что коэффициент растяжения отображения, осуществляемого регулярной функцией, постоянен в данной точке z0 области во всех направлениях.

Та

кже известно, что любая кривая, проведённая через точку z0, поворачивается при отображении w = f (z) на один и тот же угол, равный аргументу производной функции.

Поэтому, если рассмотреть две кривые в плоскости z, проходящие через точки z0, 1 и 2. Г1 и Г2 – образы этих кривых при отображении с помощью фунции u = f (z);1, 2, Ф1, Ф2 – углы, образованные касательными к каждой из этих кривых с положительным направлением действительных осей соответственно 0x и 0y, то будем иметь:

Итак:

Или:

Но – угол между касательными к кривым 1 и 2 в точке z0, то есть угол между этими кривыми в точке z0, а – угол между кривыми Г1 и Г2 точке w0. Но .Следовательно, при отображении, осуществляемом регулярной функцией, угол между двумя кривыми, пересекающимися в точке, вкоторой производная отображающей функции отлична от нуля, остаётся без изменения. Это свойство сохранения углов при отображении функции w = f (z) носит название консерватизма углов.

Отображение, обладающее свойством постоянства коэффициента растяжения и консерватизма углов, называется конформным отображением.

Таким образом, мы доказали: отображение, осуществляемое регулярной функцией, является конформным во всех точках, в которых производная этой функции отлична от нуля.

Можно доказать и обратное утверждение: если отображение, осуществляемое функцией f (z), конформно в области D, то функция f (z) является регулярной в области D.

Каково отображение, осуществляемое функцией w = 4z?

Так как то функция регулярная, и отображение, производимое ею, конформно во всей плоскости z с коэффициентом растяжения в любой точке, равным 4. Так как то направление при отбражении не изменится.

Каково отображение, осуществляемое функцией w = z 3 ?

Функция регулярна во всей плоскости, но в точке z = 0 проиводная равна нулю. Поэтому, отбражение, осуществляемое этой функцией, конформно во всех точках плоскости z, за исключением точки z = 0. Так как arg w = 3arg w, то лучи arg z = и arg z = , выходящие из точки z = 0 и образующие между собой угол - , отображаются соответственно в лучи arg w = 3 и arg w = 3, образующие между собой угол 3( - ). Следовательно, в точке z = 0 конформное отображение нарушается: углы в этой точке не сохраняются, а утраиваются.



Интерполирование функций
Сумма векторов


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать