Дифференцируемость функции многих переменных.

Частные производные.

f(x) = f(x_<1>, \ldots, x_)\nonumber

определена в окрестности точки \(x^ <0>= (x_<1>^<0>, \ldots, x_^<0>)\). Рассмотрим функцию одной переменной

Функция \(\varphi (x_<1>)\) может иметь производную в точке \(x_<1>^<0>\). По определению такая производная называется частной производной \(\frac<\partial f><\partial x_<1>>(x^<0>)\).

Употребляются и другие обозначения для частных производных первого порядка:

Функция двух переменных может иметь в точке \(x^<0>, y^<0>\) две частные производные первого порядка

Для функции трех переменных — три частные производные первого порядка

Поскольку при вычислении частных производных все переменные, кроме одной, фиксируются, то техника вычисления частных производных такая же, как техника вычисления производных функции одной переменной.

Дифференцируемость функции многих переменных в точке.

Дадим определение дифференцируемости функции в точке.

Функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^<0>\) в том и только том случае, когда в некоторой окрестности точки \(x^<0>\) функция \(f(x)\) может быть представлена в следующем виде:

где функции \(f_(x)\) непрерывны в точке \(x^<0>\).

\(\circ\) Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^<0>\). Тогда выполнено условие (1). Заметим, что равенство \(\psi(x) = o(\rho(x, x^<0>))\) при \(x \longrightarrow x^<0>\) означает, что \(\psi(x) = \varepsilon(x)\rho(x, x^<0>)\), где \(\displaystyle\lim_<\substack>>\varepsilon(x) = 0\).

Доопределим функции \(\varepsilon_(x)\) в точке \(x^<0>\) по непрерывности, полагая \(\displaystyle\lim_<\substack>>\varepsilon_(x) = \varepsilon_(x^<0>) = 0\).

Тогда из \eqref и \eqref получаем

Так как функции \(\varepsilon_(x)\) непрерывны в точке \(x^<0>\), то и функции \(f_(x)\) непрерывны в точке \(x^<0>\) и \(f_(x^<0>) = A_\), \(i = \overline<1, n>\).

Пусть выполнено \eqref. Тогда, воспользовавшись непрерывностью функции \(f_(x)\) в точке \(x^<0>\), положим

Показать, что функция

дифференцируема в точке \((0,0)\).

\(\vartriangle\) Покажем, что существует число \(C\;>\;0\) такое, что для любых \(x \in \boldsymbol \) и \(y \in \boldsymbol \) справедливо неравенство

Если \(y = 0\), то неравенство \eqref справедливо при любом \(C\). Пусть \(y \neq 0\). Положим \(t = xy^<-4/3>\). Тогда неравенство \eqref эквивалентно неравенству \(\vert \psi(t) \vert\;<\;C\), где \(\psi(t) =\displaystyle \sqrt [3] <1 + t^<3>> - t\).

Так как функция \(\psi(t)\) непрерывна на \(R\) и \(\psi(t) \rightarrow 0\) при \(t \rightarrow \infty\), то \(\psi(t)\) есть ограниченная функция на \(R\).

Итак, неравенство \eqref установлено. Так как

y^ <4/3>= o (\sqrt + y^<2>>),\quad при\;(x, y) \rightarrow (0, 0).\nonumber

\sqrt [3] + y^<4>> = x + o (\sqrt + y^<2>>),\quad при\;(x, y) \rightarrow (0, 0).\nonumber

т. е. функция \(f(x, y)\) дифференцируема в точке \((0,0)\). \(\blacktriangle\)

Показать, что функция

недифференцируема в точке (0,0).

\(\triangle\) Первый способ. Пусть функция дифференцируема в точке \((0,0)\), тогда, согласно определению, существуют числа \(A\) и \(B\) такие, что

f(x, y) - f(0, 0) = Ax + By + o(\rho),\quad \rho = \sqrt + y^<2>>,\nonumber

\sqrt [3] <2>x = 2x + o(x)\nonumber

или \((\sqrt [3] <2>- 2) x = o(x)\) при \(x \rightarrow 0\), что противоречит определению символа \(o(x)\). Следовательно, функция \(\sqrt [3] + y^<3>>\), недифференцируема в точке \((0, 0)\).

Второй способ. Если функция \(f(x, y)\) дифференцируема в точке \((0,0)\), то ее можно в некоторой окрестности этой точки, согласно теореме 1, представить в следующем виде:

\sqrt [3] + y^<3>> = x \varphi (x, y) + y \psi (x, y),\label

где функции \(\varphi (x, y)\) и \(\psi (x, y)\) непрерывны в точке \((0,0)\).

Пусть \(k\) — произвольное число. Положим в \eqref \(y = kx\). Тогда

Переходя к пределу при \(x \rightarrow 0\) и пользуясь непрерывностью функций \(\varphi (x, y)\) и \(\psi (x, y)\) в точке \((0,0)\), получаем, что при любом \(k\) выполняется равенство

\sqrt [3] <1 + k^<3>> = \varphi (0, 0) + k \psi (0, 0) = a + kb.\nonumber

Это неверно, так как функция \(\sqrt [3] <1 + k^<3>>\) не есть линейная функция (ее вторая производная по \(k\) не обращается тождественно в нуль). \(\blacktriangle\)

Из теоремы 1 следует, что функция \(f(x)\), дифференцируемая в точке \(x^<0>\), непрерывна в этой точке. Обратное утверждение неверно: функция примера 2 непрерывна, но недифференцируема в точке (0, 0).

Необходимое условие дифференцируемости функции в точке.

Если функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^ <0>\in R^\), то она имеет в точке \(x^<0>\) все частные производные \(\displaystyle\frac<\partial f><\partial x_>(x^<0>),\ i = \overline<1, n>\), и

\(\circ\) Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^<0>\). Тогда найдутся такие числа \(A_<1>, \ldots, A_\), что при \(x \rightarrow x^<0>\) будет выполнено равенство \eqref. Пусть в этом равенстве \(x_ <1>\neq x_<1>^<0>\), а \(x_ <2>= x_<2>^<0>, \ldots, x_ = x_^<0>\). Тогда равенство \eqref принимает следующий вид:

при \(x_ <1>- x_<1>^ <0>= \Delta x_ <1>\longrightarrow 0\).

Следовательно, существует предел:

Аналогично доказывается, что у функции \(f(x)\) в точке \(x^<0>\) существуют и остальные частные производные и что

Подставляя эти выражения в равенство \eqref, получаем \eqref. \(\bullet\)

Функция примера 2 имеет в точке \((0, 0)\) обе частные производные первого порядка:

Так как функция \(f(x, y) = \sqrt [3] + y^<3>>\) примера 2 недифференцируема в точке \((0,0)\), то этот пример показывает, что из существования частных производных в точке не следует дифференцируемость функции в этой точке. Существование частных производных функции в точке не гарантирует даже непрерывности функции в этой точке. Так, функция

не имеет предела при \(x, y) \rightarrow (0, 0)\), а поэтому и не является непрерывной в точке \((0,0)\). Тем не менее у этой функции в точке \((0,0)\) существуют обе частные производные:

Достаточные условия дифференцируемости функции в точке.

Если все частные производные \(\frac<\partial f><\partial x_>(x),\ i = \overline<1, n>\), определены в окрестности точки \(x^ <0>\in R^\) и непрерывны в точке \(x^<0>\), то функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^<0>\).

\(\circ\) Рассмотрим случай функции трех переменных. Общий случай рассматривается аналогично. Пусть функции \(\displaystyle \frac<\partial f><\partial x>(x, y, z),\ \frac<\partial f><\partial y>(x, y, z),\ \frac<\partial f><\partial z>(x, y, z)\), определены в некотором шаре \(S_<\varepsilon>(x^<0>, y^<0>, z^<0>)\) и непрерывны в центре шара \((x^<0>, y^<0>, z^<0>)\).

Запишем приращение функции в следующем виде:

Пусть \(x^<0>\;<\;x\). Рассмотрим функцию одной переменной \(\psi (t) = \int (l, y, z)\) при \(l \in [x^<0>, x]\). На этом отрезке функция \(\psi (l)\) имеет производную

Если подставить в эту формулу выражение для \(\psi (t)\), то

Так как частная производная \(\displaystyle\frac<\partial f><\partial x>(x, y, z)\) непрерывна в точке \((x^<0>, y^<0>, z^<0>)\), то существует

где функции \(f_<2>(x, y, z)\) и \(f_<3>(x, y, z)\) имеют конечные пределы при \((x, y, z) \rightarrow (x^<0>, y^<0>, z^<0>)\). Доопределяя эти функции в точке \((x^<0>, y^<0>, z^<0>)\) предельными значениями, получим, что функции \(f_(x, y, z),\ i = \overline<1, 3>\), непрерывны в точке \((x^<0>, y^<0>, z^<0>)\). Таким образом,

Из непрерывности функций \(f_<1>(x, y, z)\), \(f_<2>(x, y, z)\) и \(f_<3>(x, y, z)\) в точке \((x^<0>, y^<0>, z^<0>)\) и теоремы 1 следует дифференцируемость функции \(f(x, y, z)\) в точке \((x^<0>, y^<0>, z^<0>)\). \(\bullet\)

Непрерывность частных производных в точке не является необходимым условием дифференцируемости функции в этой точке.

дифференцируема в точке \((0,0)\), так как

f(x, y) = 0 \cdot x + 0 \cdot y + o(\sqrt + y^<2>>)\nonumber

при \((x, y) \rightarrow (0, 0)\).

Но при \(x^ <2>+ y^<2>\;>\;0\) частная производная

не имеет предела при \((x, y) \rightarrow (0, 0)\) и, следовательно, не является непрерывной функцией в точке \((0,0)\). Чтобы в этом убедиться, достаточно показать, что \(\displaystyle\frac<\partial f (x, 0)><\partial x>\) не имеет предела при \(x \rightarrow 0\).

Дифференцируемость сложной функции.

Пусть функции \(\varphi_ <1>(x), \ldots, \varphi_ (x)\) дифференцируемы в точке \(x^ <0>= (x_<1>^<0>, \ldots, x_^<0>) \in R^,\ y^ <0>= (\varphi_ <1>(x^<0>), \ldots, \varphi_ (x^<0>)) \in R^\) и функция \(f(y) = f(y_<1>, \ldots, y_)\) дифференцируема в точке \(y^<0>\).

Тогда сложная функция

\Phi (x) = f(\varphi_ <1>(x), \ldots, \varphi_ (x))\nonumber

дифференцируема в точке \(x^<0>\), причем при \(x \rightarrow 0\)

\(\circ\) Так как функция \(f(y)\) дифференцируема в точке \(y^<0>\), то в силу теоремы 1 найдутся функции \(f_(y),\ y = \overline<1, m>\), непрерывные в точке \(y^ <0>= (y_<1>^<0>, \ldots, y_^<0>)\) и такие, что

\psi_ (x) = f_(\varphi_ <1>(x), \ldots, \varphi_ (x)),\quad j = \overline<1, m>,\label

Но функции \(\varphi_ (x^<0>),\ j = \overline<1, m>\), дифференцируемы в точке \(x^<0>\), поэтому найдутся такие непрерывные в точке \(x^<0>\) функции \(\varphi_(x)\), что

Подставляя выражения \eqref в \eqref, получаем

Так как функции \(\psi_(x)\) и \(\varphi_(x)\) непрерывны в точке \(x^<0>\), то и функции \(\Phi_(x)\) непрерывны в точке \(x^<0>\). А это означает, что сложная функция \(\Phi(x)\) дифференцируема в точке \(x^<0>\) (теорема 1).

Пусть функция \(f(x, y)\) дифференцируема во всех точках пространства \(R^<2>\). Перейти к полярным координатам и найти выражения для \(\displaystyle\frac<\partial f><\partial r>\) и \(\displaystyle\frac<\partial f><\partial \varphi>\).

Дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала. Правила дифференцирования.

Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^<0>\). Тогда при \(x \rightarrow x^<0>\) ее можно записать в виде \eqref:

Положим по определению

dx_ = \Delta x_ = x_ - x_^<0>.\nonumber

Если функция \(f(x)\) дифференцируема в точке \(x^<0>\), то линейную форму относительно приращений независимых переменных

назовем дифференциалом функции \(f(x)\) в точке \(x^<0>\). Тогда

при \(x \rightarrow x^<0>\).

Иногда выражение \eqref называют первым дифференциалом функции \(f(x)\) в точке \(x^<0>\).

Найдем теперь дифференциал сложной функции. Пусть функции \(\varphi_ <1>(x), \ldots, \varphi_(x)\) дифференцируемы в точке \(x^<0>\), а функция \(f(y_<1>, \ldots, y_)\) дифференцируема в точке \(y^ <0>= (\varphi_ <1>(x^<0>), \ldots, \varphi_(x^<0>))\). Тогда в силу теоремы 3 сложная функция \(\Phi (x) = f(\varphi_ <1>(x), \ldots, \varphi_(x))\) дифференцируема в точке \(x^<0>\). Используя формулы \eqref, получаем

Если бы \(y_<1>, \ldots, y_\) были независимыми переменными, то \(df(y^<0>)\) отличался бы от дифференциала сложной функции \eqref только тем, что в выражении \eqref \(dy_(x^<0>)\) — дифференциалы функций \(\varphi_\), а в

\(dy_\) — дифференциалы независимых переменных. Формальная запись дифференциала в обоих случаях одинакова. Говорят, что форма первого дифференциала инвариантна относительно замены переменных.

Он будет функцией \(2n\) переменных \(x_<1>, \ldots, x_\), \(dx_<1>, \ldots, dx_\), причем при фиксированных \(x_<1>, \ldots, x_\) дифференциал есть линейная функция \(dx_<1>, \ldots, dx_\). Правила дифференцирования такие же, как и для функций одной переменной:

Докажем, например, б).

\(\circ\) Прежде всего заметим, что из теоремы о дифференцируемости сложной функции следует, что функция \(u(x)v(x)\) дифференцируема, если дифференцируемы функции \(u(x)\) и \(v(x)\). Далее, имеем

Найти дифференциал функции \(\displaystyle\operatorname\frac\).

\(\vartriangle\) Пусть \(u =\displaystyle \frac\), тогда

Формула конечных приращений Лагранжа.

Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема в выпуклой области \(G \subset R^\). Напомним, что выпуклая область есть открытое множество, любые две точки которого можно соединить отрезком, лежащим в области. Тогда для любых двух точек \(x = (x_<1>, \ldots, x_) \in G,\ y = (y_<1>, \ldots, y_) \in G\) найдется число \(\theta \in (0, 1)\) такое, что

Формула \eqref называется формулой конечных приращений Лагранжа. Докажем ее.

\varphi (t) = f(x_ <1>+ t(y_ <1>- x_<1>), \ldots, x_ + t(y_ - x_)),\ 0 \leq t \leq 1.\label

Очевидно, что \(\varphi (0) = f(x),\ \varphi (1) = f(y)\) и что функция \(\varphi (t)\) дифференцируема на отрезке [0,1]. По правилу нахождения производной сложной функции имеем

Применим к функции \(\varphi (t)\) формулу конечных приращений Лагранжа для функции одной переменной. Получаем, что найдется число \(\theta \in (0, 1)\) такое, что \(\varphi (1) - \varphi (0) = \varphi' (\theta)\). Используя формулы \eqref и \eqref, теперь легко получаем формулу \eqref. \(\bullet\)

Касательная плоскость к графику функции двух переменных. Геометрический смысл дифференциала.

Пусть функция \(f(x, y)\) дифференцируема на открытом множестве \(G \subset R^<2>\). Рассмотрим ее график

Пусть точка \(P(x_<0>, y_<0>, z_<0>)\) лежит на \(\operatorname f\), т. е. \(z_ <0>= f(x_<0>, y_<0>)\), и пусть гладкая кривая

лежит на графике и проходит через точку \((x_<0>, y_<0>, z_<0>)\). Это означает, что

Дифференцируя тождество \eqref в точке \(t_<0>\) и пользуясь инвариантностью формы первого дифференциала, получаем

Вектор \(d \tau = (dx, dy, dz)\) есть касательный вектор к кривой \(\Gamma\) в точке \((x_<0>, y_<0>, z_<0>)\). Введем вектор

Условие \eqref означает, что вектор \(\textbf\) ортогонален к касательной к кривой \(\Gamma\) в точке \((x_<0>, y_<0>, z_<0>)\). Говорят, что вектор \(\textbf\) ортогонален к кривой \(\Gamma\) в точке \(P\). Но \(\Gamma\) — любая гладкая кривая, лежащая на \(\operatorname f\) и проходящая через точку \(P\). Поэтому вектор \(\textbf\) ортогонален к любой кривой, лежащей на \(\operatorname f\) и проходящей через точку \(P\). Он называется вектором нормали к \(\operatorname f\) в точке \(P\).

Прямая, проходящая через точку \(P\) и параллельная вектору \(N\), называется нормалью к \(\operatorname f\) в точке \(P\). Ее уравнение —

Найдем значение аппликаты касательной плоскости, построенной в точке \(P(x_<0>, y_<0>, z_<0>) \in \operatorname f\).

Из \eqref получаем

Таким образом, \(d\ f(x_<0>, y_<0>)\) есть приращение аппликаты касательной плоскости (рис. 26.1).

Рис. 26.1

Производная по направлению. Градиент.

Пусть функция \(f(x, y, z)\) определена в области \(G \subset R^<3>\), и пусть точка \(P(x_<0>, y_<0>, z_<0>) \in G\). Рассмотрим луч, проходящий через точку и параллельный направлению

1 = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma),\nonumber

\cos^ <2>\alpha + \cos^ <2>\beta + \cos^ <2>\gamma = 1.\nonumber

Так как \(P\) — внутренняя точка \(G\), то найдется число \(t_<0>\) такое, что отрезок

x = x_ <0>+ t\cos \alpha,\ y = y_ <0>+ t\cos \beta,\ z = z_ <0>+ t\cos \gamma,\quad -t_ <0>\leq t \leq t_<0>,\nonumber

лежит в области \(G\). Производной функции \(f(x, y, z)\) в точке \((x_<0>, y_<0>, z_<0>)\) в направлении \(\textbf\) назовем

Если функция \(f(x, y, z)\) дифференцируема в точке \(P(x_<0>, y_<0>, z_<0>) \in G\), то производную по направлению \(\textbf\) в этой точке можно вычислить при помощи следующей формулы:

\(\circ\) Формула \eqref есть простое следствие правила нахождения производной сложной функции. \(\bullet\)

Обозначим через \(\operatorname f(x_<0>, y_<0>, z_<0>)\) вектор

Тогда равенство \eqref можно записать в следующем виде:

Если ввести символический вектор (оператор Гамильтона)

и договориться, что векторы, стоящие слева от \(\nabla\), перемножаются с \(\nabla\) по правилам векторной алгебры, а на величины, стоящие справа, \(\nabla\) действует как дифференциальный оператор, то

Тогда формулу \eqref можно записать через оператор Гамильтона



Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать