Экстремумы функций двух и трёх переменных

Поздравляю всех читателей сайта с большим событием – после кропотливой и технически сложной разработки темы функций нескольких переменных, наконец-то появилась на свет эта долгожданная статья! Сегодня на уроке мы научимся находить максимумы и минимумы функций двух и трёх переменных, а также обобщим алгоритм решения данной задачи на случай бОльшего количества аргументов. С понятиями точек экстремума и экстремумов вы уже знакомы из статьи об экстремумах функции одной переменной, и для «старших сестёр» эти понятия имеют родственный смысл. Освежим в памяти элементарную терминологию:

точки экстремума – это общее название точек минимума и максимума;

экстремумы – это общее название минимумов и максимумов.

Начнём с функции двух переменных , применительно к которой точки экстремума – это точки плоскости , а экстремумы – соответствующие значения функции («высоты»). Также экстремумами иногда называют точки самой поверхности.

Да, и сразу важное напутствие для «чайников», нормальных студентов =) и сомневающихся – рассматриваемый материал сам по себе прост, но требует базовых знаний и навыков в нескольких разделах высшей математики. Поэтому если у вас возникнет (или уже возникло) какое-либо недопонимание по ходу изложения, то проставленные ссылки в помощь.

Итак, «действующие лица» следующие: функция , внутренняя точка её области определения и -окрестность данной точки. Для удобства считаем, что окрестность представляет собой круг радиуса с центром в точке (в учебной литературе чаще встречается окрестность-квадрат).

Определение: если в некоторой -окрестности точки выполнено неравенство , то говорят, что функция имеет минимум в точке .

При этом точка называется точкой минимума, а соответствующее значение функции («высота») – минимумом. Ещё раз призываю не путаться в терминах!

Простейший пример минимума – это вершина эллиптического параболоида, чаша которого направлена вверх:

Давайте ещё раз внимательно перечитаем определение и вдумаемся в его суть. Сформулированное определение говорит нам о том, что функция достигает минимума в точке , если существует хоть какая-то -окрестность этой точки, в которой значение высоты меньше ВСЕХ ОСТАЛЬНЫХ значений .

Следует отметить, что в нашем примере под определение подходит вообще любая -окрестность, т.к. поверхность уходит вверх на бесконечность и никаких точек ниже – нет в принципе. Такой минимум называют глобальным.

А теперь мысленно разверните чашу параболоида вниз – чтобы красная точка стала «вершиной горы».

Определение: если в некоторой -окрестности точки выполнено неравенство , то говорят, что функция имеет максимум в точке .

Соответственно, точка называется точкой максимума, а значение – максимумом функции.

В случае с нашим параболоидом максимум, естественно, тоже глобальный, но на практике гораздо чаще встречаются локальные экстремумы. Так, например, функция на нижеследующем чертеже достигает локального максимума (слева вверху) и локального минимума (справа внизу):

Наверное, всем понятно, в чём различие, но всё-таки закомментирую: почему, например, такой максимум называют локальным? Потому что функция на своей области определения достигает и бОльших значений – по правую руку поверхность уходит «за облака», где о красной точке разве что легенды слагают. Таким образом, о «вершине горы» речь идёт лишь на локальном участке области определения. «Гора», кстати, «горЕ» рознь – бывают поверхности, у которых минимумы и максимумы если и различимы на глаз, то выглядят, как пупырышки =) Важно, чтобы существовала пусть даже очень малая -окрестность точки , где выполнено условие минимума или максимума (см. определения).

Из вышесказанного следует ещё одна важная вещь, которая опять же касается понятий. Пожалуйста, РАЗЛИЧАЙТЕ и будьте аккуратны в выражениях:

максимум функции – это в общем случае НЕ ТО ЖЕ САМОЕ, что максимальное значение функции;

минимум функции – это в общем случае НЕ ТО ЖЕ САМОЕ, что минимальное значение функции.

Да, в примере с эллиптическим параболоидом соответствующие понятия совпадают, но вот у только что рассмотренной поверхности «красный» максимум – это отнюдь не наибольшее, а «оранжевый» минимум – отнюдь не наименьшее значение функции. Задачу нахождения минимального и максимального значений функции мы рассмотрим в самом ближайшем будущем, а пока что вернёмся к теме сегодняшнего урока:

Как исследовать функцию на экстремум?

Прежде всего, нужно ориентироваться на необходимое условие экстремума:

если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то обе частные производные 1-го порядка в данной точке равны нулю:

Точку, удовлетворяющую этим условиям, называют критической, а чаще – стационарной точкой.

! Примечание: условие необходимо именно для дифференцируемой в точке функции. Как мы увидим в Примере 6, экстремум может существовать и при других обстоятельствах.

Обратное утверждение справедливо далеко не всегда. Иными словами, если известно, что в некоторой точке частные производные равны нулю, то это ЕЩЁ НЕ ЗНАЧИТ, что там есть экстремум. Его там может и не быть.

Так, например, у функции , которая как раз задаёт эллиптический параболоид, частные производные обращаются в ноль в точке – и в данной точке действительно существует минимум функции («дно чаши»).

Но у функции с производными , равными нулю в этой же точке, не наблюдается ничего подобного. Это гиперболический параболоид или «седло»:

Для точки не существует -окрестности, в которой поверхность располагалась бы только вверху или только внизу . Грубо говоря, в любой -окрестности точки куски поверхности есть и сверху, и снизу.

Точку такого рода так и называют – седловой, а иногда, по известной географической ассоциации – точкой перевала.

Читатели, знакомые с материалами статьи Производная по направлению и градиент, наверное, уже поняли геометрический смысл выкладок: из условий

следует равенство нулю производной и по всем направлениям: . То есть, если мы сделаем бесконечно малый «шажок» из точки в любую сторону, то наша высота останется неизменной. И этот факт справедлив, как для точек экстремума, так и для точки перевала.

Итак, условия необходимы для существования экстремума дифференцируемой там функции, но на основании только этой информации мы ещё не можем сделать вывода о характере точки . С достаточным условием экстремума познакомимся прямо по ходу практической задачи, а то что-то мы засиделись в теории:

Исследовать на экстремум функцию

Контроль:

и решим систему:

В данном случае получена система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, которую можно решить несколькими способами. Но мудрить здесь не надо – как проще, так и решаем. Из 2-го уравнения выразим и подставим в 1-е уравнение:

Таким образом:

– стационарная точка. Тут, главное, не перепутать координаты.

Выполним промежуточную проверку:

Отлично. А точнее, хорошо, поскольку пройдено всего лишь пол пути. В найденной точке может быть минимум, максимум либо перевал, и выяснить, что же там на самом деле, нам поможет

достаточное условие экстремума функции двух переменных,

для применения которого нужно вычислить частные производные 2-го порядка в точке Для компактности обычно используют следующие обозначения:

Если , то функция имеет экстремум в точке , причём, если , то это минимум, а если – то максимум.

Примечание: здесь также можно ориентироваться и на букву «цэ», т.к. неравенство выполняется только в том случае, если и – одного знака.

Если , то в точке нет экстремума.

Если же , то требуется дополнительное исследование, о котором загадочно умалчивают практически все источники. Впрочем, беспокоиться особо не нужно – встретите вряд ли.

В нашем примере все частные производные 2-го порядка равны константам:

а значит, соответствующим константам они равны и в частности в точке :

Таким образом: , следовательно, в точке есть экстремум, и так как , то это – минимум. Осталось его найти. Перепишем функцию , чтобы она была перед глазами, и ОЧЕНЬ внимательно проведём вычисления:

Надо сказать, момент весьма неприятный, поскольку здесь существует ненулевая вероятность запороть всё задание. Правда, в данном случае вычисления здОрово облегчил нулевой «икс».

Ответ:

Признаюсь честно, привык я использовать значки , что не есть хорошо, т.к. они обычно используется для обозначения минимального и максимального значений функции. От чего вас и предостерегаю.

И справка для любознательных: поверхность представляет собой ни что иное, как «подзашифорованный» эллиптический параболоид – весьма похожий на тот, который мы видели на 1-й картинке урока.

Пара разминочных примеров для самостоятельного решения:

Исследовать на экстремум функцию двух переменных

Исследовать на экстремум функцию двух переменных

Решение 3-го примера осложняется тем, что получается система нелинейных уравнений. Подумайте, что и откуда выгоднее выразить. Примерный образец чистового оформления задач в конце урока.

Когда я подбирал материалы к этой статье, то обнаружил у себя целую тьму подобных примеров (даже сам удивился) и поэтому рекомендую со всей ответственностью отнестись к предлагаемым заданиям.

Нередко приходится разбираться с двумя или даже бОльшим количествам стационарных точек. Типовая задача с экспонентой:

Исследовать функцию на экстремум

Решение: чтобы определить стационарные точки, найдем частные производные 1-го порядка и приравняем их к нулю. Техническая сложность дифференцирования состоит в применении правила , после чего, руководствуясь здравой логикой, нужно «загонять» слагаемые в одну скобку и по необходимости «наводить там порядок»:

На всякий пожарный проверим, что (тем более, находить всё равно придётся):

Поскольку экспоненты не могут равняться нулю, то их можно с чистой совестью убрать:

В подобных системах нужно проявить смекалку: где-то удаётся удачно выразить одну переменную через другую, где-то можно выделить полный квадрат, ну а у нас решение лежит на поверхности:

Теперь подставляем соотношение в любое, например, во 2-е уравнение системы:

В результате получены 2 стационарные точки:

Не упущу возможности позанудствовать и напомнить о проверке – координаты найденных точек должны удовлетворять каждому уравнению системы.

Достаточное условие экстремума, как вы понимаете, нужно проверить для каждой точки отдельно. И в том, и в другом случае нам потребуются частные производные 2-го порядка:

Смешанная производная уже найдена:

И, наконец, «двойная игрековая»:

. Это ещё не самый страх – пример я подобрал довольно гуманный =)

На очереди кропотливые вычисления:

1) Проверим выполнение достаточного условия экстремума для точки :

, значит, в точке нет экстремума.

2) Проверим выполнение достаточного условия экстремума для точки :

, значит, в точке существует экстремум, и поскольку , то это – максимум. Вспоминаем про функцию и НЕ ОШИБАЕМСЯ:

Ответ:

О точке перевала в ответе не упоминаем. Зачем? Нас же просили провести исследование на экстремум.

От следующего задания тоже трудно отказаться – почти баян:

Исследовать функцию на экстремум

Краткое решение и ответ в конце урока

Время от времени посетители сайта просят меня включать в уроки задания и посложнее… ну что же, нашёлся тут интересный экземпляр: . Здесь придётся разрулить не самую простую систему и проверить на экстремум несколько стационарных точек. Чтобы не убивать интригу, в конце урока не будет ни решения, ни ответа =)

И специально для всех читателей mathprofi.ru, можно сказать, эксклюзивная задача:

Исследовать функцию на экстремум

Решение начинается как обычно:

Но вот следующий шаг, казалось бы, сразу приводит к ответу об отсутствии экстремумов:

Система не имеет решений, поскольку единственная «подозрительная» точка обращает знаменатели в ноль, то есть функция – не дифференцируема в данной точке. Но неужели всё так просто? И действительно – ведь САМА-ТО функция там определена:

И более того, поверхность непрерывна в точке (да и вообще в любой точке плоскости ). Так почему же тут не может существовать минимум или максимум?

Сомнения не напрасны! По аналогии с похожим «плоским» случаем (см. Пример 8 урока Возрастание, убывание и экстремумы функции) такая точка тоже считается стационарной и в ней тоже может быть экстремум!

Но здесь возникает второй камень преткновения. В знаменателях частных производных 2-го порядка (проверьте самостоятельно) находятся корни , что делает невозможным вычисление значений .

Как быть? В трудной ситуации всегда есть смысл проанализировать самое простое решение. А самое элементарное в экстремумах – это непосредственно их определения!

Рассмотрим достаточно малую -окрестность точки . Любую точку данной окрестности, отличную от , можно представить в виде , где значения не равны нулю одновременно и достаточно малы для того чтобы точка входила в эту окрестность.

Примечание: оба числа могут быть положительны , отрицательны , разных знаков: либо ; и, кроме того, одно из них может равняться нулю (ещё 4 случая). Таким образом, обозначение действительно пригодно.

Вычислим значение функции в этой произвольной точке окрестности:

Так как не равны нулю одновременно, то корень будет хоть чуть-чуть, но больше нуля, а значит, . И вспоминая, что , записываем очевидный факт: . Грубо говоря, в рассматриваемой окрестности значение «самое низкое».

Вывод: для точки нашлась -окрестность, в которой выполнено неравенство , таким образом, – минимум по определению.

Нетрудно понять, что минимум глобальный. Геометрически поверхность представляет собой своеобразное пространственное остриё, а точнее – «шип».

Ответ:

Представленное решение полностью корректно и полноценно! Более того, данный способ можно попытаться применить и в ситуации, когда достаточное условие экстремума не даёт ответа . Однако дело осложняется тем, что неравенство либо нужно обосновать для каждого из восьми случаев (см. Примечание), что реально осуществимо далеко не всегда. Зависит от функции.

И заключительный, не менее интересный параграф:

Экстремумы функции трёх переменных

Плюс одно измерение. Рассмотрим функцию трёх переменных , внутреннюю точку её области определения и -окрестность данной точки, которая представляет собой шар с центром в точке радиуса .

Определение: если в некоторой -окрестности точки выполнено неравенство ( – точка -шара, отличная от ), то функция имеет минимум в точке ; если же – то максимум.

Вполне, кстати, понятное и на такое уж абстрактное определение.

Всё очень похоже. Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то обязательно выполняются условия . Но с другой стороны, если в какой-либо точке производные 1-го порядка равны нулю, то это ещё не значит, что там есть экстремум.

Алгоритм решения сохраняется прежним:

Найти экстремумы функции

Чтобы найти стационарные точки, составим и решим следующую систему:

Аккуратно расположим переменные в обычном порядке и, кроме того, разделим последнее уравнение на 2:

Систему можно решить методом Гаусса, но зачем такие сложности? Из 3-го уравнения выразим и подставим его в первые два уравнения:

Из 1-го уравнения выразим и подставим во 2-е уравнение:

Таким образом, – стационарная точка. Здесь, напоминаю, не помешает подставить найденное решение в каждое уравнение исходной системы и убедиться в выполнении условий .

Проверка достаточного условия экстремума осуществляется несколько по-другому. Сначала нужно найти все частные производные 2-го порядка, вычислить их в точке и составить так называемую матрицу Гессе:

Да не пугайтесь вы так =) Данная матрица является симметричной (или симметрической). Это значит, что её элементы симметричны относительно главной диагонали, на которой в данном случае расположены «однобуквенные» частные производные . Уловили закономерность?

Далее нужно вычислить угловые миноры. Это определители, которые «разрастаются» из левого верхнего угла:

1) Если , то функция достигает минимума в точке .

2) Если (так и только так!), то функция достигает максимума в точке .

3) Если получилось что-то другое и при этом , то – седловая точка. Здесь это уже во многом условное название.

4) Если , то признак не даёт ответа о характере точки .

Внимательные читатели заметили, что эту схему в варианте «два на два» мы использовали и в предыдущем параграфе – только оформление «детское» было. Но не будем отвлекаться.

В нашем примере все производные 2-го порядка равны константам:

а значит, они равны константам и в точке . Составим матрицу Гессе:

и вычислим её угловые миноры:

Вывод: функция достигает максимума в точке .

Для удобства вычислений скопирую функцию:

Ответ:

Аналогичное задание для закрепления материала:

Исследовать функцию на экстремум

Краткое решение и ответ рядом.

Рассмотренный алгоритм исследования распространяется и на функции бОльшего количества переменных. Я бы мог расписать его в общем виде, но заметная часть аудитории просто на дух не переносит общие формулы с нагромождением цифр и индексов. Поэтому разберём ещё случай функции 4 переменных, а дальше – будет понятно.

Чтобы исследовать на экстремум дифференцируемую функцию четырёх аргументов, нужно найти частные производные 1-го порядка и решить систему:

Предположим, что в результате решения найдена стационарная точка . Далее нужно найти частные производные 2-го порядка, вычислить их в точке и составить матрицу Гессе:

после чего вычислить её угловые миноры .

Если все миноры положительны, то в точке – минимум, если знакочередуются в следующем порядке: (и именно в таком!), то в точке – максимум. Если имеет место другой случай, но , то – седловая точка; если же , то признак не даёт ответа о характере точки .

Ну и для совсем продвинутых читателей сообщу, что это есть ни что иное, как проверка квадратичной формы полного дифференциала 2-го порядка на знакоопределённость методом Сильвестра (для функций 2, 3, 4 и бОльшего количества переменных).

Удачных вам исследований!

Как наберётесь сил – приходите ещё! =)

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: найдём стационарные точки:

– стационарная точка.

Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

, в частности:

, значит, в точке нет экстремума.

Пример 3: Решение: найдём стационарные точки:

Из 1-го уравнения выразим: – подставим во 2-е уравнение:

– стационарная точка.

Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

, значит, в точке существует экстремум, так как , то это – максимум:

Ответ:

Пример 5: Решение: найдем частные производные 1-го порядка:

Составим и решим систему:

Из 2-го уравнения выразим – подставим в 1-е уравнение:

В результате получены 2 стационарные точки:

Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

1) Для точки :

, значит, в точке нет экстремума.

2) Для точки :

, значит, в точке существует экстремум, и поскольку , то это минимум:

Ответ:

Пример 8: Решение: найдём стационарные точки:

Составим и решим систему:

Из 2-го уравнения выразим – подставим в 1-е и 3-е уравнения:

Из 2-го уравнения выразим – подставим в 1-е уравнение:

– стационарная точка.

Найдём частные производные 2-го порядка:

Частные производные равны константами, а значит, они равны соответствующим константам и в точке . Составим матрицу Гессе:

и вычислим её угловые миноры:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com



Эволюта и эвольвента
Векторное произведение векторов