Эволюта и эвольвента

Если в точке M1(x, y) данной линии кривизна отлична от нуля, то этой точке соответствует вполне определённый центр кривизны C1(, ) . Совокупность всех центров кривизны данной линии образует некоторую новую линию, называемую эволютой по отношению к первой.

По отношению к своей эволюте данная линия называется эвольвентой или инволютой (или развёрткой). Дадим определение.

Определение 7. Геометрическое место центров кривизны линии L называется её эволютой L1 , а сама линия L относительно своей эволюты называется эвольвентой.

Если данная кривая определяется уравнением y=f(x) , то уравнения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения эволюты с параметром x. Исключая из этих уравнений параметр x, получим непосредственную зависимость между текущими координатами эволюты и . Если же кривая задана параметрически x = (t), y = (t), то уравнения (2) дают параметрические уравнения эволюты.

Теорема 1. Нормаль к данной кривой является касательной к её эволюте.

Доказательство. Угловой коэффициент касательной к эволюте, определяемой параметрическими уравнениями (1) , равен . В силу уравнений (1)

Но y ! есть угловой коэффициент касательной к кривой в соответствующей точке, поэтому из полученного соотношения следует, что касательная к кривой и касательная к её эволюте в соответствующей точке взаимно перпендикулярны, то есть нормаль к кривой является касательной к эволюте.

Теорема 2. Если на некотором участке M1M2 кривой радиус кривизны изменяется монотонно, то приращение длины дуги эволюты на данном участке кривой равно по абсолютной величине соответствующему приращению радиуса кривизны данной кривой.

Так как , где ds - дифференциал длины дуги эволюты; отсюда

Подставляя сюда выражения (3) и (4) получим

Дифференцируя по x обе части этого равенства, получим после соответствующих преобразований

Деля обе части равенства на , получим

Возведём в квадрат полученное равенство:

и сравнивая равенства (4), (5) находим

По условию не меняет знак (R только возрастает или только убывает), следовательно, и не меняет знак. Пусть для определённости

Применим теорему Коши к функциям s(x) и R(x) на отрезке [x1, x2]:

Где - число, заключённое между x1 и x2 .

Тогда . Но это значит, что . Теорема доказана.

Доказательство при возрастании радиуса кривизны аналогично.

Если кривая задана параметрически, то теоремы 1 и 2 остаются в силе и доказываются аналогично.

Укажем без доказательства приёмы приближённых построений эволюты по эвольвенте и эвольвенты по эволюте.

1). Каждая нормаль к эвольвенте является касательной к эволюте; эволюта как бы огибает всё семейство нормалей эвольвенты. Поэтому, если постройть достаточно большое число нормалей к эвольвенте L, то огибающая их линия и будет эволютой L.

2). Если гибкую нерастяжимую нить, обтягивающую заданную выпуклую линию L ! развёртывать, сохраняя постоянно натянутой, то каждая её точка опишет эвольвенту L. Поэтому эвольвенту называют ещё развёрткой. Эта операция развёртывания нити равносильна качению без скольжения прямой линии по данной линии L ! ; Каждая точка такой прямой описывает эвольвенту L линии L ! . Отсюда следует, что данная эволюта L ! имеет бесконечное число эвольвент L. В то же время любая данная линия, рассматриваемая как эвольвента, имеет только одну эволюту.



Найти доверительный интервал


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать