4.8 Эйлеровы интегралы

Эйлеровыми интегралами называют интегралы вида

B(α, β) = x α−1 (1 − x) β−1 dx,

которые, как будет доказано ниже, сходятся при α > 0, β > 0. Первый интеграл называют эйлеровым интегралом 1–го рода или B-функцией ("бета–функцией"), а второй — эйлеровым интегралом 2–го рода или-функцией ("гамма–функцией").

4.8.1 Свойства Г-функции

Лемма 4.3. -функция определена на луче (0, +∞).

Пусть f(x, α) = x α−1 e −x . Так как f C((0, +∞) × R), то для несобственного интеграла (α) точка x = +∞ и, возможно, точка x = 0 (при α < 1) являются особыми. Поэтому для нахождения области определения -функции исследуем сходимость несобственных интегралов

Очевидно, что 0 < f(x, α) x 1−α при x → +0, поэтому первый несобственный интеграл сходится при α > 0 и расходится при α ≤ 0.

Для каждого α R, найдется число x 0 = x 0 (α) > 1 такое, что

при x ≥ x 0 0 < f(x, α) ≤ x 2 . Следовательно, второй несобственный интеграл сходится при любом α R. Поэтому -функция определена на луче (0, +∞) и

Лемма 4.4. -функция бесконечно дифференцируема на (0, +∞).

Заметим, что f α 0 (x, α) = x α−1 · e −x · ln x C((0, +∞) × (0, +∞)). Пусть [α 0 , A 0 ] (0, +∞). Если α ≥ α 0 > 0, то найдется точка x 0 (0, 1] такая,

что для всех 0 < x < x 0 выполняется неравенство | ln x| = ln x 1 < x −α 0 /2 .

Поэтому |f α 0 (x, α)| < x α 2 0 − 1 . А так как интеграл Z1 x α 2 0 − 1 dx сходит-

ся, то по признаку Вейерштрасса (теорема 4.17) интеграл f α 0 (x, α) dx

сходится равномерно по α на множестве [α 0 , +∞) (0, +∞). Аналогично, если 0 < α ≤ A 0 < +∞, то найдется точка x 00 [1, +∞)

такая, что для всех x > x 00 выполняются неравенства

Тогда по признаку Вейерштрасса интеграл

f α 0 (x, α) dx сходится равно-

мерно по α на множестве (0, A 0 ]. Следовательно, интегралы f α 0 (x, α) dx

f α 0 (x, α) dx равномерно сходятся по α на отрезке [α 0 , A 0 ] (0, +∞).

В силу теоремы 4.24 функции Z

f(x, α) dx непрерывно диф-

ференцируемы на отрезке [α 0 , A 0 ], а, значит, функция (α) непрерывно

дифференцируема на [α 0 , A 0 ], и ее производная имеет представление

Следовательно, -функция дифференцируема на множестве (0, +∞) и

x α−1 · e −x · ln x dx, α (0, +∞).

Повторяя те же рассуждения для функции 0 (α), доказываем, что функция (α) дважды дифференцируема на (0, +∞) и

00 (α) = x α−1 · e −x · ln 2 x dx, α (0, +∞).

Аналогичными рассуждениями по индукции легко доказать, что - функция бесконечно дифференцируема на (0, +∞), и для любого n N

x α−1 · e −x · ln n x dx, α (0, +∞).

Лемма 4.5 (формула приведения Эйлера). Для любого α > 0

Применяя метод интегрирования по частям (теорему 3.2), получаем

x α e −x dx = −e −x x α | 0 +∞ + α

x α−1 e −x dx = α (α).

Cледствие. Если α (n − 1, n], n N, то

(α + 1) = α(α − 1) · · · (α − n + 1) (α − n + 1).

В частности, для всех n N 0

Пусть n N. Применяя формулу (4.16) n раз, получим формулу(4.17). Полагая в ней α = n, получим, что (n + 1) = n! (1). Но

(1) = e −x dx = −e −x | + 0 ∞ = 1,

и потому имеет месть формула (4.18) . Заметим, что формула остается верной и при n = 0, так как 0! = 1.

Замечание. Функцию (α) можно рассматривать как продолжение факториала на интервал (0, +∞).

Изучим поведение -функции и построим эскиз ее графика. Так как

00 (α) = x α−1 e −x ln 2 x dx > 0, α > 0,

то график функции (α) обращен на (0, +∞) выпуклостью вниз, а функция 0 (α) возрастает на (0, +∞). Из формулы(4.16) следует, что (2) =(1). Поэтому, по теореме Ролля, примененной к (α) на отрезке [1, 2], существует точка µ (1, 2), в которой 0 (µ) = 0. В силу возрастания функции 0 (α), имеем:

0 (α) < 0, если α (0, µ), 0 (α) > 0, если α > µ.

Следовательно, функция (α) убывает на промежутке (0, µ], возрастает на промежутке [µ, +∞), и точка µ является точкой локального (а, значит, и глобального) минимума. Известно, что µ ≈ 1,46 и (µ) ≈ 0,88. Далее,

возрастает на µ,

не ограничена сверху на

Наконец, из формулы приведения (α + 1) = α (α), α > 0, полу-

Формула приведения (4.16) позволяет продолжить -функцию с сохранением ее свойств на интервалы (−n − 1, −n), где n N 0 . Положим

(α) = (α + 1) , если α (−1, 0) (в рассматриваемом случае α + 1 > 0).

Изучим поведение -функции при α → −1 + 0. Для этого положим y = α + 1. Заметим, что α → −1 + 0 y → +0. Тогда

при α → −1 + 0. Если же α → −0, то

на любом интервале

Эскиз графика полученной

-функции имеет следующий вид:

4.8.2 Свойства B-функции

Лемма 4.6. В-функция определена на множестве α > 0, β > 0.

Пусть f(x, α, β) = x α−1 (1 − x) β−1 . Тогда функция f непрерывна на множестве (0, 1)×R α ×R β . Поэтому точки x = 0 и x = 1 — ее возможные

особые точки. Исследуем на сходимость несобственные интегралы

x α−1 (1 − x) β−1 dx и

x α−1 (1 − x) β−1 dx.

, поэтому первый интеграл схо-

дится при α > 0 и любом β R. Аналогично показывается, что второй

интеграл сходится при β > 0 и любом α R. Следовательно, В-функция

определена на множестве (0, +∞) × (0, +∞).

Лемма 4.7. В-функция симметрична относительно своих аргу-

ментов, то есть B(α, β) = B(β, α) при α > 0, β > 0 .

Проводя в интеграле (4.14) замену 1 − x = t, получим

B(α, β) = Z1 x α−1 (1 − x) β−1 dx = Z1 (1 − t) α−1 t β−1 dt = B(β, α).

Лемма 4.8 (формула приведения для B-функции).

Применяя метод интегрирования по частям (теорему 3.2) получим:

u = x α = du = αx α−1 dx

Z1 x α−1 (1 − x) β dx =

Z1 x α−1 (1 − x) β−1 (1 − x) dx =

x α−1 (1 − x) β−1 dx −

Отсюда и следует формула (4.19) .

Cледствие. Для любых α > 0 и β > 0

Первая формула вытекает из формулы (4.19) и свойства симметрии B-функции, а вторая — из последовательного применения полученных формул к B(α + 1, β + 1).

Лемма 4.9 (второе интегральное представление B-функции).

В интеграле (4.14) сделаем замену переменной x =

. Заметим, что t → +0 при x → +0, и t → +∞ при

x → 1 − 0, поэтому

Лемма 4.10 (о связи между B - и - функциями).

При u > 0 в интеграле (4.15) положим x = ut, dx = udt и получим:

u α−1 t α−1 e −ut udt = u α

Теперь будем считать, что α > 1, β > 1, u > 1 и u = 1 + v, v > 0. Тогда

Отсюда следует, что

Проинтегрируем обе части этого равенства по v на луче [0, +∞) :

+∞ t α+β−1 e −(1+v)t dt dv. (4.21)

Заметим, что интегрирование возможно, так как

Поскольку α > 1 и β > 1, то подынтегральные функции в правой части равенства (4.21) имеют единственную особую точку t = +∞ (подынтегральные функции непрерывны в точке t = 0). Формально поменяем порядок вычисления несобственных интегралов в правой части равенства(4.21):

+∞ v α−1 e −vt dv dt.

Выполняя замену переменной vt = z, tdv = dz, получим, что

Следовательно, для всех α > 1, β > 1

t β−1 e −t dt = (α) (β),

откуда и следует формула 4.20. Остается доказать законность изменения порядка вычисления несобственных интегралов. При α > 1 и β > 1 функция f(t, v) = v α−1 t α+β−1 e −(1+v)t непрерывна и неотрицательна на

v α−1 t α+β−1 e −(1+v)t dv = t α+β−1 e −t

то несобственный интеграл I(t) является непрерывной функцией на луче [0, +∞) при всех α > 1 и β > 1. Аналогично, делая замену (1 + v)t = z, получим, что

v α−1 t α+β−1 e −(1+v)t dt = v α−1

то есть несобственный интеграл J(v) также является непрерывной функцией на луче [0, +∞) при всех α > 1 и β > 1. В силу теоремы 4.23, изменение порядка несобственного интегрирования законно, что доказывает справедливость формулы(4.20) при α > 1 и β > 1.

Пусть теперь α > 0 и β > 0. Согласно следствию леммы 4.8,

B(α + 1, β + 1) = (α + β + 1)(α + β) B(α, β).

Применяя к левой части этого равенства доказанную при α > 1 и β > 1 формулу (4.20) , получим:

Поскольку (α + 1) = α (α), α > 0, то

(α + β + 1) (α + β) (α + β) = (α + β + 1)(α + β) B(α, β),

Приведем без доказательства следующее утверждение.

Для продолжения скачивания необходимо собрать картинку:



Применение теории максимума и минимума к решению задач


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать