Основные инварианты,позволяющие однозначно определить вид и каноническую запись квадрики , страница 21

Фокальное свойство параболы:

Если источник света поместить в фокус параболы, то лучи, отразившись от параболы, пойдут в одном направлении, перпендикулярном директрисе.

Воспользуемся тем, что угол падения света равен углу отражения, и тем, что от кривой свет отражается так же, как от касательной, проведенной в точку падения.

Фокальное свойство параболы используется при изготовлении отражающих поверхностей прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, телескопов, параболических антенн и т.д.

2.4.2. Лабораторная работа

«Различные способы получения параболы»

Необходимые инструменты: Миллиметровая бумага, ножницы, циркуль, линейка, карандаш, прямоугольник, нить, треугольник и кнопки.

Рассмотрим способ получения параболы из листа бумаги. Возьмем лист бумаги прямоугольной формы и отметим около его большей стороны точку . Сложим лист так, чтобы точка совместилась с какой-нибудь точкой на большей стороне и на бумаге образовалась линия сгиба

(рис. 33). Линия сгиба будет серединным перпендикуляром к отрезку и, следовательно, касательной к параболе. Разогнем лист и снова согнем его, совместив точку с другой точкой большей стороны. Сделаем так несколько раз, пока вся бумага не покроется линиями сгибов. Линии сгибов будут касательными к параболе. Граница участка внутри этих сгибов будет иметь форму параболы (рис.33).

Подготовьте набор принадлежностей для построения параболы. Для заданных фокуса и директрисы постройте соответствующую им параболу.

(С помощью нити, карандаша, треугольника и кнопок).

Из уравнения параболы находим величину параметра , выбираем произвольно положение фокуса и на расстоянии от проводим директрису , а затем прямую, проходящую через , перпендикулярную директрисе и пересекающую ее в точке (рис. 34).

Далее строим прямоугольную декартову систему координат Оху с началом в середине отрезка JF, причем ось абсцисс определяем прямой, проходящей через точки Jи F, а ось ординат проводим так, чтобы получить обычную декартову систему координат.

Проведем прямую с той же стороны по отношению к директрисе , где находится начало координат, причем так, чтобы прямая была параллельна директрисе и находилась от нее на расстоянии .

Начертив окружность с центром в Fи радиусом , получаем в пересечении этой окружности с прямой две точки рассматриваемой параболы.

Изменяя величину , можно указанным способом построить ряд точек данной параболы, а затем, используя полученные точки, построить искомый график параболы.

2.4.3. Задачи на закрепление материала.

1. Расстояние от фокуса параболы до директрисы равно 4 см. Чему равно наименьшее расстояние от точек на параболе до директрисы? Укажите соответствующую точку на параболе.

2. Что будет происходить с параболой, если фокус: а) приближается к директрисе; б) удаляется от директрисы?

а) фокус приближается к директрисе;

Если фокус будет приближаться к директрисе, следовательно, будет убывать. Так как – уравнение параболы, следовательно, коэффициент перед , будет возрастать, тогда получим, что если фокус будет приближаться к директрисе, то вершина параболы будет двигаться вниз, а ветви параболы будут сжиматься.

б) фокус удаляется от директрисы;

Если фокус будет удаляться от директрисы, следовательно, будет возрастать. Так как – уравнение параболы, следовательно, коэффициент перед , будет убывать, тогда получим, что если фокус будет приближаться к директрисе, то вершина параболы будет двигаться вверх, а ветви параболы будут расширяться.

3. Вершина параболы находиться в точке , а её ось параллельна оси . Зная, что на оси парабола высекает хорду , длина которой равна 6, написать уравнение параболы.

2.4.4. Методические рекомендации к главе

Материал дан в избытке. Сведения, связанные с касательными можно дать не в полном объеме. (Рассмотреть только определение). Фокальные свойство можно только сформулировать, а их доказательство провести на уроках закрепления знаний в качестве задач.

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).



Прямоугольные координаты точки на плоскости