Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия – это такая последовательность отличных от нуля чисел, которая получается в результате умножения каждого последующего члена на одно и то же число, не равное нулю.

Пример геометрической прогрессии : 2, 6, 18, 54, 162.

Здесь каждый член после первого в 3 раза больше предыдущего. То есть каждый последующий член является результатом умножения предыдущего члена на 3:

Знаменатель геометрической прогрессии.

Знаменатель геометрической прогрессии – это число, равное отношению второго и любого последующего члена к предыдущему члену прогрессии. Ее обычно обозначают буквой q.

В нашем примере при делении второго члена на первый, третьего на второй и т.д. мы получаем 3. Число 3 и является знаменателем данной геометрической прогрессии.

Свойства геометрической прогрессии:

1) Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних членов, стоящих перед ним и после него:

2) Верно и обратное утверждение: если в последовательности чисел квадрат любого ее члена, начиная со второго, равен произведению двух соседних членов, стоящих перед ним и после него, то эта последовательность является геометрической прогрессией:

Вернемся к нашей геометрической прогрессии 2, 6, 18, 54, 162. Возьмем четвертый член и возведем его в квадрат:

Теперь перемножим члены, стоящие слева и справа от числа 54:

Как видим, квадрат третьего члена равен произведению соседних второго и четвертого членов.

Как найти определенный член геометрической прогрессии.

Чтобы найти n-й член геометрической прогрессии, следует применить формулу:

Пример 1 : Возьмем некую геометрическую прогрессию, в которой первый член равен 2, а знаменатель геометрической прогрессии равен 1,5. Надо найти 4-й член этой прогрессии.

Применяем формулу bn = b1 · q n – 1 , вставляя в нее соответствующие значения:

Ответ: Четвертый член заданной геометрической прогрессии – число 6,75.

Пример 2 : Найдем пятый член геометрической прогрессии, если первый и третий члены равны соответственно 12 и 192.

1) Сначала нам надо найти знаменатель геометрической прогрессии, без которой решить задачу невозможно. В качестве первого шага с помощью нашей формулы выводим формулу для b3:

Теперь мы можем найти знаменатель геометрической прогрессии:

При q = –4 результат будет тот же. Таким образом, задача имеет одно решение.

Ответ: Пятый член заданной геометрической прогрессии – это число 3072.

Как найти сумму первых n членов геометрической прогрессии.

При q ≠ 1 сумму любого количества первых членов геометрической прогрессии можно найти с помощью одной из следующих формул:

Если q = 1, то все члены прогрессии просто равны первому члену:

Пример : Найдем сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (bn), в которой первый член равен 2, а знаменатель геометрической прогрессии 3.

Применяем вторую формулу из двух приведенных выше:

b1 (q 5 – 1) 2 (3 5 – 1) 2 · (243 – 1) 484

Ответ: Сумма первых пяти членов заданной геометрической прогрессии равна 242.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии.

Следует различать понятия «сумма бесконечной геометрической прогрессии» и «сумма n членов геометрической прогрессии». Второе понятие относится к любой геометрической прогрессии, а первое – только к такой, где знаменатель меньше 1 по модулю.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии – это предельное число, к которому сходится последовательность прогрессии.

Говоря иначе, какой бы длинной не была геометрическая прогрессия, сумма ее членов не больше какого-то определенного числа и практически равна этому числу. Оно и называется суммой геометрической прогрессии.

Не любая геометрическая прогрессия имеет такую предельную сумму. Она может быть только у такой прогрессии, знаменатель которой – дробное число меньше 1.

Составим геометрическую прогрессию, в которой первый член – число 2, а знаметатель равен 1/2:

2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 и т.д.

Сложим все полученные члены прогрессии:

2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 = 255/64 ≈ 3,98 ≈ 4.

Можно продолжить прогрессию до 10, 100, миллиона членов, но во всех случаях сумма членов прогрессии будет практически равна 4. Число 4 и является суммой данной геометрической прогрессии.

Чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, не надо складывать все ее члены. Для этого существует замечательная и довольно простая формула.

Сумма S геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

b1 – первый член геометрической прогрессии; q – знаменатель прогрессии; |q| < 1.

Решим наш пример с помощью этой формулы.

www.zvuk.a5.ru



Интерполирование функций
Нахождение модуля комплексного числа