Частные производные (2)

2.2. Геометрический смысл частных производных

Для большей геометрической наглядности и для того, чтобы не вводить новых понятий, в этом пункте ограничимся рассмотрением функций двух переменных.

Рассмотрим функцию z = f(x, у), определенную на плоском открытом множестве G, т. е. множестве G, лежащем на плоскости Е 2 .

Пусть (x0, у0) G и пусть в точке (х0, у0) существует частная производная . Ее геометрический смысл сразу получается из определения частной

производной как обычной производной функции f(x, у) по х при

фиксированном у и из геометрического смысла обычной производной.

График 1 – геометрический смысл частных производных.

В самом деле, возьмем замкнутый круг Q радиуса r с центром в точке (x0, у0) и лежащий в G*. Пусть - кривая, заданная представлением

т. е. кривая, которая получается сечением графика функции z= f(x, у), (х,y) Q плоскостью =y0.

* Такой круг Q всегда существует. Действительно, в силу определения открытого множества существует такая -окрестность O точки (х0, у0), что О G. Тогда замкнутый круг Q радиуса с центром в точке (х0, у0) будет заведомо лежать в G.

где - угол, образованный касательной к графику функции f(х, у0) в точке 0, f(x0, у0)) с осью Ох, т. е. угол, образованный касательной к кривой в точке (x0, у0,f0, у0)) с осью Ох.

- в этом состоит геометрический смысл частной производной.

Совершенно аналогично устанавливается и геометрический смысл частной производной тангенса угла наклона, образованного касательной в точке 0, f(x0, у0)) к кривой, образованной сечением графика функции z=f(x, у), (х,y) Q плоскостью х=х0, с осью Оу.

2.3. Частные производные высших порядков

Частные производные функции нескольких переменных сами являются функциями этих переменных и могут иметь частные производные. Для исходной функции эти последние производные будут частными производными второго порядка. Так, для функции двух независимых переменных можно определить (предполагается, что все производные существуют) четыре частные производные второго порядка, которые обозначаются символами:

,

,

,

.

Частные производные и , отличающиеся порядком дифференцирования, называются смешанными частными производными второго порядка.

Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и старших порядков.

Пример 8: Найти частные производные второго порядка функции .

Имеем: , ,,

, , , .

Здесь = . Оказывается, имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Смешанные производные второго порядка (они отличаются друг от друга порядком дифференцирования) равны между собой (при условии их непрерывности в рассматриваемой точке).

Пример 9: Дана функция . Доказать, что .

Приводя подобные члены , убеждаемся, что .

Пример 10: Найти все вторые частные производные функции .

Пример 11: Нейдем вторые частные производные функции z=х 3 у 2 +2х 2 у-6. Имеем:

Смешанные производные равны между собой.

Замечание 1. Четыре частных производных второго порядка в силу теоремы 1 сводятся к трем:

Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка (или третьими частными производными) и обозначаются , (чистые производные), , , и т.д. (смешанные производные) или и т.д.

Теорема 2: Смешанные производные третьего порядка, отличающиеся друг от друга лишь порядком дифференцирования, равны между собой (при условии их непрерывности в рассматриваемой точке).

Например, .

Пример 12: Частные производные третьего порядка функции z=x 3 y 2 +2x 2 y-6 есть:

Замечание 2. Восемь частных производных третьего порядка в силу теоремы 2 сводятся к четырем: .

Замечание 3. Аналогично определяются и обозначаются частные производные четвертого и высших порядков функции f (х,у), а также функций трех и большего числа аргументов. Для всех случаев имеют место теоремы, аналогичные теоремам 1 и 2.

3. Некоторые практические применения производной

3.1. Практическое применение производной при решении неравенств

Дифференциальное исчисление широко используется при исследовании функций. С помощью производной можно найти промежутки монотонности функции, ее экстремальные точки, наибольшие и наименьшие значения.

Если функция f имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке некоторого промежутка, то она возрастает (убывает) на этом промежутке. При нахождении промежутков монотонности нужно иметь в виду, что если функция возрастает (убывает) на интервале (a,b) и непрерывна в точках a и b, то она возрастает (убывает) на отрезке [a,b].

Если точка x0 является точкой экстремума для функции f и в этой точке существует производная, то f / (x0)=0. В точке экстремума функция может не иметь производную. Внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими. Чтобы установить, имеет ли функция в данной критической точке экстремум, пользуются следующими достаточными признаками существования экстремума.

Для отыскания наибольших и наименьших значений f на отрезке [a,b] достаточно сравнить между собой значения f в точках a, b и в критических точках из отрезка [a,b].

Эти результаты применимы при решении многих элементарных задач, связанных с неравенствами.



Уравнения прямой линии в пространстве


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать