Геометрический смысл модуля и аргумента производной

Геометрический смысл модуля и аргумента производной - Лекция, раздел Математика, Уравнения, в которых неизвестная функция входит под знак производной или диффе-ренциала, называется дифференциальным уравнением. Например Пусть Функция Дифференцируема В Точке И При Отображении Векто.

Пусть функция дифференцируема в точке и При отображении вектор исходящий из точки переходит в бесконечно малый вектор исходящий из точки а гладкая кривая переходит в гладкую кривую (см. рис. 8). Поскольку то выполняются одновременно следующие соотношения:

Отсюда следует, что с точностью до выполняются равенства

Эти равенства позволяют сделать следующие выводы (геометрический смысл модуля и аргумента производной ):

Эти равенства позволяют сделать следующие выводы (геометрический смысл модуля и аргумента производной ):

а) модуль равен коэффициенту растяжения (сжатия) бесконечно малого вектора исходящего из точки при отображении

б) аргумент равен углу поворота бесконечно малого вектора исходящего из точки при отображении

Эти утверждения верны для произвольного бесконечно малого вектора исходящего из точки причем утверждение б) будет верно для любых гладких кривых исходящих из точки (в этом случае вектор касается кривой в точке ). Если и две гладкие кривые, исходящие из точки то из утверждения б) следует, что при отображении они развернутся на один и тот же угол, т.е. угол между кривыми и при отображении сохраняется. Более того, сохраняется и направление этого угла. Исходя из сказанного, вводят следующее понятие.

Определение 4. Отображение окрестности точки на окрестность точки называется конформным, если оно обладает постоянством растяжения (сжатия) бесконечно малых элементов и сохранением углов и их направлением между любыми двумя гладкими кривыми Отображение называется конформным в области , если оно конформно в каждой точке области и если функция является аналитической и однолистной в области .

Теорема 2. Пусть функция -- однолистная и аналитическая в области и в каждой точке области . Тогда отображение будет конформным в области .

Доказательство этого утверждения вытекает из геометрического смысла производной и ее аргумента. Например, главная ветвь логарифма является конформным отображением области > на область Конформные отображения играют важную роль в прикладных науках. Однако подробное их изучение в нашем курсе не предусмотрено программой. Читателю, заинтересованному в более детальном ознакомлении с теорией конформных отображений, рекомендуем книгу Б.А. Фукса и Б.В. Шабата ``Функции комплексного переменного и некоторые их приложения'' (ГИФМЛ, Москва, 1959) .

Лекция 7. Интеграл от функции комплексного переменного. Теорема Коши и для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши. Существование всех производных для аналитической функции

Везде ниже, если не оговорено противное, функция предполагается однозначной в своей области определения. Пусть в плоскости задана некоторая ориентированная кривая ( начало, конец). Каждой точке плоскости соответствует единственное комплексное число (и обратно), поэтому будем отождествлять точку и соответствующее комплексное число и будем писать Пусть функция определена на кривой . Разобьём кривую на частичные дуги точками в направлении ориентации кривой:

Возьмём произвольно точку и составим интегральную сумму

Обозначим диаметр разбиения .

Определение 1. Если существует конечный предел интегральных сумм:

и он не зависит от вида разбиения и выбора точек , то его называют

интегралом от функции вдоль кривой (дуги) и обозначают При этом функцию называется интегрируемой на кривой .

Сразу же отметим свойство ориентированности этого интеграла:

которое вытекает из того, что при ориентации кривой от до вектор заменяется на вектор Кроме того, интеграл от комплексной функции, очевидно, обладает свойствами линейности и аддитивности, которые мы не выписываем. Следующее утверждение позволяет свести комплексный интеграл к двум действительным криволинейным интегралам.

Теорема 1. Пусть ограниченная дуга > кусочно-гладка и лежит в области определения функии . Пусть, кроме того, непрерывна на дуге > . Тогда имеет место равенство

Доказательство. Преобразуем в интегральной сумме (1) слагаемое :

Тогда интегральная сумма в равенсте (1) примет вид

Здесь действительная часть является интегральной суммой для криволинейного интеграла

, а мнимая часть – интегральной суммой для криволинейного интеграла . Так как функция непрерывна на дуге то на этой дуге непрерывны ее действительная часть и мнимая часть поэтому указанные криволинейные действительные интегралы существуют. Переходя к пределу в равенстве (7) при получаем равенство (2). Теорема доказана.

Из этой теоремы вытекают свойства линейности, аддитивности и другие свойства комплексного интеграла. В частности, справедлива теорема об оценке интеграла.

Теорема 2. Если функция непрерывна на кусочно-гладкой ограниченной кривой то имеет место неравенство

Из теоремы 1 вытекает также следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть дуга задана параметрически уравнением

причем функция непрерывна на отрезке и дуга ориентирована по возрастанию параметра (т.е. -- начало, конец дуги ). Пусть, кроме того, функция непрерывна на дуге .Тогда имеет место равенство

В качестве примера вычислим интеграл, имеющий широкое применение в дальнейшей теории интеграл Покажем, что

Если то Если то

Эта тема принадлежит разделу:

Уравнения, в которых неизвестная функция входит под знак производной или диффе-ренциала, называется дифференциальным уравнением. Например

семестр часть Дифференциальные уравнения. В каждой лекции все формулы определения и теоремы нумеруются так же как и в. Лекция Общие понятия Начальная задача задача Коши и теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Геометрический смысл модуля и аргумента производной

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Уравнение вида где неизвестная функция, известные функции[2], называется линейным дифференциальным уравнением. Если то уравнение (1) называется однородным. Ес

Сначала дадим понятие решения уравнения (3). Определение 1.Решением уравнения (3) на отрезке называется такая функция которая удовлетворяет

Ясно, что чем меньше порядок дифференциального уравнения, тем легче его решить. Посмотрим, какие уравнения допускают понижение порядка. Сначала рассмотрим простейшее уравнение

Пусть функции имеют смысл на отрезке Определение 1. Говорят, что система функцийлинейно зависима на отрезке , если существуют постоянные , не равные

Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение Докажем следующий важный результат. Теорема 5. Пусть функции являются

Пусть дано неоднородное дифференциальное уравнение Докажем следующее утверждение. Теорема 1(о структуре общего решения неоднородно

Согласно теореме 1 поиск общего решения неоднородного дифференциального уравнения (1) сводится к двум процедурам: 1) построение фундаментальной системы решений соответствую

Напомним, что комплексными числами называют числа вида где и – действительные числа, --- мнимая единица ( ). При этом называется действительной частью, а – м

Напомним сначала, что корень характеристического многочлена называется корнем кратности если Полезно заметить, что если полином имеет различных корне

1) По уравнению (1) составляем характеристическое уравнение , заменив в (1) производные на степени ( ). 2) Найдем корни характеристического уравнения и установим их кратности. 3)

Для неоднородного уравнения с непрерывными на отрезке коэффициентами и неоднородностью был изложен метод вычисления частного решения называемый методом в

Равенство (1) называется формулой Муавра. Используя его, можно вывести формулу извлечения корня й степени из комплексного числа. Однако для этого надо ввести сначала понятие

Ниже везде, если не оговорено противное, все функции считаются однозначными. Кроме того, запись автоматически предполагает, что и – действительные величины. Ниже везде, есл

Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности Сместимся из точки в точку Тогда аргумент функции получит приращение , а сама функция -- приращение Опре

Напомним, что множество называется односвязным, если любой замкнутый контур, лежащий в можно стянуть в точку, не выходя из . Множество называется связным, если его гра

Функция называется первообразной функции в области в области если дифференцируема в и Теорема 1. Если однозначная функция дифферен

Функциональные ряды вида где (коэффициенты ряда) и (центр ряда) – постоянные, переменная, называются степенными рядами. Ясно, что если мы научимся вычислять область сходимост

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?

Подпишитесь на Нашу рассылку
Новости и инфо для студентов
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто

Информация в виде рефератов, конспектов, лекций, курсовых и дипломных работ имеют своего автора, которому принадлежат права. Поэтому, прежде чем использовать какую либо информацию с этого сайта, убедитесь, что этим Вы не нарушаете чье либо право.



Составить матрицы инцидентности, достижимости и сильной связности
Дискретные и непрерывные координаты