Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Задание 7

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции. Задание 7.

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Исходя из этого определения, рассмотрим, каким образом производная функции связана с графиком этой функции.

Посмотрите ВИДЕОУРОК, в котором я подробно объясняю, в чем заключается геометрический смысл производной, и как выводится уравнение касательной. А затем мы рассмотрим решение задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

Геометрический смысл производной .

Тангенс угла наклона касательной (угловой коэффициент наклона касательной), проведенной к графику функции в точке равен производной функции в этой точке:

Заметим, что угол - это угол между прямой и положительным направлением оси ОХ:

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:

В этом уравнении:

- абсцисса точки касания,

- значение функции в точке касания,

- значение производной функции в точке касания.

Приведем несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике, в которых используется знание геометрического смысла производной.

Пример 1. Задание В8 (№ 27504) На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абcцисcой . Найдите значение производной функции в точке .

Значение производной функции в точке равно тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ОХ. Чтобы его найти, выделим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого лежит на касательной, а катеты параллельны осям координат. Обозначим точки с целыми координатами буквами А и В - эти точки выделены на касательной:

Проведем через точку А прямую параллельно оси ОХ, а через точку В - параллельно оси OY. Получим прямоугольный треугольник ABC:

Угол А треугольника АВС равен углу между касательной и положительным направлением оси ОХ.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Длины катетов считаем по количеству клеточек.

Пример 2. Задание В8 (№ 27506) На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абцисоой . Найдите значение производной функции в точке .

Эта задача очень похожа на предыдущую, за исключением того, что здесь касательная наклонена влево, и угол между касательной и положительным направлением оси ОХ расположен так:

Построим, как предыдущей задаче, прямоугольный треугольник АВС:

Угол А треугольника ABC и угол - смежные, то есть их сумма равна 180 градусов. Значит,

Запомните , если прямая наклонена влево, то коэффициент наклона прямой отрицателен.

Пример 3 . Задание В8 (№ 40129) На рисунке изображен график функции . Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсцссой 8. Найдите значение производной функции в точке .

Соединим отрезком точку начала координат с точкой касания:

Производная функции в точке касания равна тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ОХ:

Чтобы найти тангенс , рассмотрим прямоугольный треугольник АОВ:

Для вас другие записи этой рубрики:

Отзывов ( 25 )

Большое спасибо за объяснение!

Раньше боялся смотреть на В8, а сейчас, как орешки щелкаю.

Очень доступно и понятно!

а что если,дан график производной функции,а не сама функция?

«Запомните, если прямая наклонена влево, то коэффициент наклона прямой отрицателен.» Это написано под 2 примером. — наоборот мне кажется.. На 1 примере прямая наклонена влево, а на втором примере вправо.

Ты путаешь право и лево 🙂

Спасибо вам большое:)

Ваш сайт очень помогает подготовке к экзамену)

Откуда АВ=10 в примере 3 ?

Считаем по клеточкам.

Спасибо за ответ, уже нашла в банке заданий, там нарисованы клеточки, так что разобралась. И конечно, присоединяюсь к общим похвалам в адрес вашего прекрасного сайта.

Инна!Большое Вам спасибо за вашу работу!Благодаря Вам многие вопросы становятся более доступными.Когда у меня появляются какие-то проблемные вопросы-я захожу к Вам на сайт и часто нахожу ответы на вопросы.Дай Бог Вам здоровья и энергии!



График функции