Гипербола и парабола

Мнимая ось гиперболы: \(b\)

Координаты точек: \(x\), \(y\)

Фокусное расстояние: \(2c\)

Расстояния от точек гиперболы до фокусов: \(\), \(\)

Эксцентриситет гиперболы: \(e\)

Параметр параболы: \(p\)

Фокус параболы: \(F\)

Гипербола представляет собой плоскую кривую, для каждой точки которой модуль разности расстояний до двух заданных точек ( фокусов гиперболы ) является постоянным. Расстояние между фокусами гиперболы называется фокусным расстоянием и обозначается через \(2c\). Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром . У гиперболы имеются две оси симметрии: фокальная или действительная ось, проходящая через фокусы, и перпендикулярная ей мнимая ось, проходящая через центр. Действительная ось пересекает ветви гиперболы в точках, которые называются вершинами . Отрезок, соединяющий центр гиперболы с вершиной, называется действительной полуосью и обозначается через \(a\). Мнимая полуось обозначается символом \(b\). Каноническое уравнение гиперболы записывается в виде

Модуль разности расстояний от любой точки гиперболы до ее фокусов является постоянной величиной:

где \(\), \(\) − расстояния от произвольной точки \(P\left( \right)\) гиперболы до фокусов \(\) и \(\), \(a\) − действительная полуось гиперболы.

Уравнения асимптот гиперболы

\(y = \pm \large\frac\normalsize x\)

Соотношение между полуосями гиперболы и фокусным расстоянием

где \(c\) − половина фокусного расстояния, \(a\) − действительная полуось гиперболы, \(b\) − мнимая полуось.

\(e = \large\frac\normalsize > 1\)

Уравнения директрис гиперболы

Директрисой гиперболы называется прямая, перпендикулярная ее действительной оси и пересекающая ее на расстоянии \(\large\frac\normalsize\) от центра. У гиперболы − две директрисы, отстоящие по разные стороны от центра. Уравнения директрис имеют вид

\(x = \pm \large\frac\normalsize = \pm \large\frac<<>>\normalsize\).

Уравнение правой ветви гиперболы в параметрической форме

где \(a\), \(b\) − полуоси гиперболы, \(t\) − параметр.

Общее уравнение гиперболы

Общее уравнение гиперболы, полуоси которой параллельны осям координат

Гипербола называется равнобочной , если ее полуоси одинаковы: \(a = b\). У такой гиперболы асимптоты взаимно перпендикулярны. Если асимптотами являются горизонтальная и вертикальная координатные оси (соответственно, \(y = 0\) и \(x = 0\)), то уравнение равнобочной гиперболы имеет вид

\(xy = \large\frac<<>><4>\normalsize\) или \(y = \large\frac\normalsize\), где \(k = \large\frac<4>\normalsize .\)

Параболой называется плоская кривая, в каждой точки которой выполняется следующее свойство: расстояние до заданной точки ( фокуса параболы ) равно расстоянию до заданной прямой ( директрисы параболы ). Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается через \(p\). Парабола имеет единственную ось симметрии, которая пересекает параболу в ее вершине . Каноническое уравнение параболы имеет вид

где \(p\) − параметр параболы.

Общее уравнение параболы

Уравнение параболы, ось симметрии которой параллельна оси \(Oy\)

или в эквивалентной форме

где \(p\) − параметр параболы.

Уравнение параболы с вершиной в начале координат и осью симметрии, параллельной оси \(Oy\)

где \(p\) − параметр параболы.

Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.



Уравнения высшей математики
Точка пересечения прямой с плоскостью