Графическое дифференцирование

Дата добавления: 2013-12-23 ; просмотров: 2367 ; Нарушение авторских прав

Задача приближенного вычисления производной мо­жет возникнуть в тех случаях, когда неизвестно анали­тическое выражение для исследуемой функции. Функ­ция может быть задана таблично, или известен только график функции, полученный, например, в результате показаний датчиков параметров технологического про­цесса.

Иногда, при решении некоторых задач на компьюте­ре, из-за громоздкости выкладок может оказаться более удобным вычисление производных численным методом, чем аналитическим. При этом, разумеется, необходимо обосновать применяемый численный метод, т. е. убедить­ся в том, что погрешность численного метода находится в приемлемых границах.

Одним из эффективных методов решения дифференци­альных уравнений является разностный метод, когда вместо искомой функции рассматривается таблица ее значений в определенных точках, при этом производные приближенно заменяются разностными формулами.

Пусть известен график функции у = f(х) на отрезке [а,b].Можно построить график производной функции, вспомнив ее геометрический смысл. Воспользуемся тем фактом, что производная функции в точке х равна тан­генсу угла наклона к оси абсцисс касательной к ее графи­ку в этой точке.

Если х = х0,найдем у0 = f(x0)с помощью графика и затем проведем касательную АВ к графику функции в точке (х0, y0) (рис. 5.1). Проведем прямую, параллельную касательной АВ, через точку (-1, 0) и найдем точку у1ее пересечения с осью ординат. Тогда значение у1равно тан­генсу угла наклона касательной к оси абсцисс, т. е. про­изводной функции f(x)в точке х0:

у1 = = tgα = f ¢ (x0), и точка М0 (х0, у1) принадлежит графику производной.

Чтобы построить график производной, необходимо разбить отрезок [а, b]на несколько частей точками хi, затем для каждой точки графически построить значение производной и соединить полученные точки плавной кри­вой с помощью лекал.

На рис. 5.2 показано построение пяти точек М1, М2. , М5и графика производной.

Алгоритм построения графика производной:

Полученная кривая является графиком производной.

Точность графического способа определения производ­ной невысока. Мы приводим описание этого способа толь­ко в учебных целях.

Замечание. Если в алгоритме построения графика производ­ной вместо точки (-1, 0) взять точку (-l,0), где l > 0, то график будет построен в другом масштабе по оси ординат.

а) Разностные формулы для обыкновенных производных

Разностные формулы для приближенного вычисления производной подсказаны самим определением производной. Пусть значения функции в точках xi обозначены через yi:

yi = f(xi), xi = a+ ih, i = 0, 1, . , n; h =

Мы рассматриваем случай равномерного распределения точек на отрезке [a, b]. Для приближенного вычисления производных в точках xi можно использовать следующие разностные формулы, или разностные производные.

. (5.1)

. (5.2)

. (5.3)

Так как предел отношения (5.1) при h ® 0 равен пра­вой производной в точке хi, то это отношение иногда на­зывают правой разностной производнойв точке xi.По аналогичной причине отношение (5.2) называют левой разностной производнойв точке xi.Отношение (5.3) на­зывают центральной разностной производнойв точке xi.

Оценим погрешность разностных формул (5.1)–(5.3), предполагая, что функция f(x) разлагается в ряд Тейло­ра в окрестности точки xi:

f(x) = f(xi)+ . (5.4)

yi+1 = f(xi + h) = yi + . (5.5)

yi-1 = f(xi - h) = yi - . (5.6)

Учитывая (5.5) и (5.6), имеем

, (5.7)

, (5.8)

. (5.9)

Из последних соотношений следует, что разностная формула (5.3) имеет погрешность на порядок меньшую, чем разностные формулы (5.1) и (5.2).

Производные высших порядков можно приближенно вычислять по формулам, полученным с помощью после­довательного применения разностных соотношений (5.1)–(5.3).

Разностная формула для второй производной (разно­стная производная второго порядка)имеет вид

. (5.10)

Непосредственной подстановкой разложений (5.5) и (5.6) в формулу (5.10) можно получить зависимость между второй производной функции и разностной формулой для производной второго порядка:

. (5.11)

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!



Векторное и смешанное произведение векторов