Обратно пропорциональная зависимость

1. Определение обратно пропорциональной зависимости.

Наряду с прямо пропорциональными величинами в арифметике рассматривались также и величины обратно пропорциональные.

1) Длины основания и высоты прямоугольника при постоянной площади.

Пусть требуется выделить для огорода прямоугольный участок площадью в 600 кв. м .

Мы можем произвольно установить, например, длину участка. Но тогда ширина участка будет зависеть от того, какую длину мы выбрали. Различные (возможные) значения длины и ширины приведены в таблице.

Вообще, если обозначить длину участка через x , а ширину — через y , то зависимость между ними можно выразить формулой:

Выразив y через x , получим:

Давая x произвольные значения, будем получать соответствующие значения y .

2) Время и скорость равномерного движения при определенном расстоянии.

Пусть расстояние между двумя городами равно 200 км . Чем больше будет скорость движения, тем меньше времени потребуется, чтобы проехать данное расстояние. Это видно из следующей таблицы:

Вообще, если обозначить скорость через x , а время движения — через y , то зависимость между ними выразится формулой:

Определение . Зависимость между двумя величинами x и y , выраженная равенством xy = k , где k – определенное число (не равное нулю), называется обратно пропорциональной зависимостью.

Число k и здесь называется коэффициентом пропорциональности.

Так же, как и в случае прямой пропорциональности, в равенстве xy = k величины x и y в общем случае могут принимать положительные и отрицательные значения.

Но во всех случаях обратной пропорциональности ни одна из величин не может быть равной нулю. В самом деле, если хоть одна из величин x или y будет равна нулю, то в равенстве xy = k левая часть будет равна нулю, а правая — некоторому числу, не равному нулю (по определению), то есть получится неверное равенство.

2. График обратно пропорциональной зависимости. Построим график зависимости xy = 9.

Выразим y через x , получим:

Будем давать x произвольные (допустимые) значения и вычислим соответствующие значения y . Получим таблицу:

Построим соответствующие точки (черт. 28).

Если будем брать значения x через меньшие промежутки, то и точки расположатся теснее.

При всевозможных значениях x соответствующие точки расположатся на двух ветвях графика, симметричных относительно начала координат и проходящих в I и III четвертях координатной плоскости (черт. 29).

Итак, мы видим, что графиком обратной пропорциональности является кривая линия. Эта линия состоит из двух ветвей.

Одна ветвь получится при положительных, другая — при отрицательных значениях x .

График обратно пропорциональной зависимости называется гиперболой .

Чтобы получить более точный график, надо строить возможно больше точек.

С достаточно большой точностью гиперболу можно начертить, пользуясь, например, лекалами.

На чертеже 30 построен график обратно пропорциональной зависимости с отрицательным коэффициентом. Составим, например, такую таблицу:

Получим гиперболу, ветви которой расположены во II и IV четвертях.



Определение векторного произведения
Вычисление площади поверхности вращения