Интегрирование тригонометрических функции

Интегрирование функций рационально зависящих от тригонометрических функций

a) Если n нечётное, то одну степень sinx (либо cosx ) следует внести под знак дифференциала, а от оставшейся чётной степени следует перейти к противоположной функции.

б) Если n чётное, то пользуемся формулами понижения степени

, .

2. Интегралы вида где n – целое.

Необходимо использовать формулы

3. Интегралы вида

а) Пусть m и n разной чётности. Применяем подстановку , если n - нечётное либо , если m – нечётное.

б) Если m и n чётные, то пользуемся формулами понижения степени

, .

4. Интегралы вида

Если числа m и n одинаковой чётности, то используем подстановку . Часто бывает удобным применить приём тригонометрической единицы.

5.

Воспользуемся формулами преобразования произведения тригонометрических функций в их сумму

  • Решение онлайн
  • Видеоинструкция

1. Вычислить интеграл .

Делаем замену cos(x)=t. Тогда

2. Вычислить интеграл .

Делая замену , получаем

3. Найти интеграл .

Делаем замену tg(x)=t Подставляя, получаем

Заметим, что замена ctg(x)=t здесь удобнее, так как тогда , и поэтому

Интегрирование выражений вида R(sinx, cosx)

Пример №1 . Вычислить интегралы:

Решение, а). Интегрирование выражений вида R(sinx, cosx) , где R — рациональная функция от sin x и cos x, преобразуются в интегралы от ра­циональных функций с помощью универсальной тригонометрической подста­новки tg(x/2) = t.

Универсальная тригонометрическая подстановка дает возможность перейти от интеграла вида ∫R(sinx, cosx) dx к интегралу от дробно-рациональной функции, но часто такая замена ведет к громоздким выражениям. При определенных условиях эффективными оказываются более простые подстановки:

  • Если выполняется равенство R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x), то применяется подстановка cos x = t.
  • Если выполняется равенство R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x), то подстановка sin x = t.
  • Если выполняется равенство R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx, то подстановка tgx = t или ctg x = t.

В данном случае для нахождения интеграла

применим универсальную тригонометрическую подстановку tg(x/2) = t.

Так как дробь неправильная, то, выделяя целую часть, получим

Возвращась к исходной переменной будем иметь

b). Во втором примере рассмотрим важный частный случай, когда общее выражение имеет вид . В этом частном случае если m нечетно, следует применить подстановку cos x = t. Если нечет­но п, следует применить подстановку sin x = t. Если оба показателя тип — четные неотрицательные числа (в частности, одно из них может быть равным нулю), то выполняют замену по известным тригонометрическим формулам:

В данном случае

Также рекомендуется ознакомиться с возможностью решения интегралов онлайн.

Правила ввода данных

Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).



Задача о касательной