Интегральная теорема Лапласа;

Асимптотическая формула биномиального распределения (локальная терема Лапласа). Формула Пуассона

Уже для двузначного числа п повторных испытаний определение вероятности по формуле Бернулли

вызывает вычислительные трудности. Поэтому в таких случаях применяется следующая приближенная формула1):

выражающая содержание локальной теоремы Лапласа2), вывод которой в настоящем курсе опускается (желающие ознакомиться с этой теоремой могут найти ее в подробных курсах теории вероятностей).

При этом пользуются табличными данными для второго множителя в правой части формулы

Для возможности выполнения вычислений с помощью асимптотической формулы в справочниках дана соответствующая таблица значений .

Для того чтобы показать, сколь незначительно отклонение результата применения приближенной (асимптотической) формулы при вычислении Рт,п от результата вычисления по точной формуле, проведем оба вычисления на следующем примере.

Пример 11. Вероятность попадания по движущейся мишени принимается равной 0,7. Какова вероятность того, что из 20 выстрелов 15 окажутся удачными?

Решение. Здесь п=20, и q=0,3.Производим вычисление по приближенной формуле.

I. Определяем

II. Определяем

III. Определяем значение

IV. Определяем

Вычисление по точной формуле биномиального распределения:

Логарифмирование3) дает нам

Отсюда и, таким образом, приближенный результат, найденный выше, дает отклонение на 3,35%. С повышением значения п этот процент понижается.

Пусть в условиях предыдущего примера требуется найти вероятность того, что 5 выстрелов окажутся удачными.

Обращение к формуле Бернулли дает

(промежуточные операции по подсчету результата отнесены к самостоятельной работе учащегося).

Столь незначительное значение найденной вероятности указывает на то, что ожидаемое событие является практически невозможным. Применение приближенной формулы Лапласа дает:

По таблице значений не может быть найдено, так как в таблице приведены значения для значений не свыше 3,99. Значениям же х > 3,99 соответствуют ничтожно малые значения , что указывает на практическую невозможность события.

График функции называют кривой вероятностей.

Несложное исследование функции дает следующее.

1. Так как здесь х входит в четной степени, то , т. е. соответствующая этой функции кривая симметрична относительно оси Оу.

2. С осью Оу кривая пересекается в точке .

3. С осью Ох кривая не пересекается, так как показательная функция при всех действительных значениях х; при этом ось Ох является горизонтальной асимптотой для кривой, так как

4. Производная исследуемой функции

обращается в нуль при х = 0, причем переход через нулевое значение связан с переменой знака производной с «+» (при х < 0) на «-» (при х > 0); этим в точке определяется максимум функции, равный

5. Вторая производная обращается в нуль при и с переменой ее знака, когда х переходит через — 1и через 1, а этим, как известно, определяются точки перегиба

и

Ординаты этих точек

6. Составляем таблицу для ряда значений х и и вычерчиваем кривую1) (рис. 3).

Построенная кривая и есть кривая вероятностей. Она позволяет по каждому значению найти приближенное значение

а отсюда и

Асимптотическая формула , выражающее содержание локальной теоремы Лапласа, дает тем более близкие к точному значению Рт,п результаты, чем больше значение При этом, здесь сказывается не только значение п, но и значение pq. При одних итех же значениях п вычисление по асимптотической формуле дает для Рт,п тем лучшее приближение к значению по формуле Бернулли, чек ближе pq к 0,25 (это значение является для pq наибольшим), т. е. чем заданная вероятность (а отсюда и q) ближе к 0,5. В задачах же со значениями р или q, близкими к нулю, применение той же асимптотической формулы дает более заметные отклонения от точных значений Рт,п, получаемых по формуле Бернулли.

Так, в примере 11 при п=20, m=15 и р=0,7 приближенный результат дает отклонение на 3,35%. Если же, не меняя значений п и т, положить р=0,95 (q=0,05), то значению по формуле Бернулли соответствует по формуле Лапласа значение , что указывает уже на непригодность этой приближенной формулы.

В связи с этим для так называемых редких событий (со значениями р, близкими к нулю) с успехом применяется асимптотическая формула Пуассона в виде

,1)

где и приближение тем лучше, чем больше п и меньше р. Заметим, что использование этой формулы допустимо при условии

Выгодность применения вычислений по формуле Пуассона, например, для п=100 и р= 0,01, показывает следующая таблица значений

при значениях т 0 1 2 5 9

по формуле Бернулли 0,366 0,370 0,185 0,003 0,000001

» Лапласа 0,242 0,411 0,242 0,001 0,000000

» Пуассона 0,368 0,368 0,184 0,003 0,000001

Пример 12. Известно, что в принятой для сборки партии из 1000 деталей имеются 4 дефектных. Найти вероятность того, что среди 50 наудачу взятых деталей нет дефектных. ]

Решение. Здесь п = 50, вероятность появления дефектной детали р = 0,004, вероятность появления пригодной детали q = 0,996. Отсутствие среди 50 деталей дефектных, означает, что все эти детали — пригодные. Поэтому при т=0 обращение к формуле Бернулли дает . Логарифмированием находим l, откуда

Для применения формулы Пуассона имеем

Отсюда

что дает отклонение от результата по формуле Бернулли менее 0,5%. Заметим, что обращение к приближенной формуле Лапласа требует более громоздкого вычисления и дает , т. е. с отклонением около 1,7%.

Мы видели, что отыскание вероятности появления события А при п испытаниях, количество которых заключено в границах целых чисел а и b, было связано с применением теоремы сложения вероятностей. Именно, если т принимает значения всех последовательных целых чисел , где и то вероятность того, что событие А наступит либо раз, либо раз, . либо раз, т. е. вероятность появления события А при п испытаниях не менее а и не более b раз, определяется по формуле

Отыскание этой суммы с помощью данных биномиального распределения по мере возрастания числа п сопровождается значительными затруднениями вычислительного характера. Между тем такая задача может быть успешно разрешена приближенно и притом с желательной степенью точности на основании интегральной теоремы Лапласа.

Теорема. Если производится большое число п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события А равна р, то вероятность того, что число т появлений события А удовлетворяет неравенству

имеет своим пределом

когда п неограниченно возрастает.

Математическая запись этой теоремы:

Доказательство. Пусть число п независимых испытаний зафиксировано. Тогда принятые в условии границы значений m — определенные целые числа.

Обозначив их через а и b, будем иметь:

и 1).

Искомая вероятность в указанных границах числа т определяется согласно теореме сложения вероятностей

При этом значения слагаемых вычисляются либо (для небольших п и т)по формуле Бернулли, либо по формуле Лапласа.

Отыскание же предела, к которому стремится вероятность

при неограниченном возрастании числа п, может быть осуществлено только с помощью определенного интеграла.

Приведем поэтому выражение к виду интегральной суммы.

Общий член суммирования

мы можем представить, пользуясь асимптотической формулой биномиального распределения, в виде

Здесь при для всех целых т в заданных границах. Но переход к переменной х связан с выделением в общем члене суммирования множителя и с установлением границ для переменной х.

При рассмотрении асимптотической формулы было принято соотношение

(1)

Это соотношение приводит в соответствие числу значение , числу - значение и т. д.

Так как паре последовательных чисел m и т +1 соответствует пара значений x и , то имеем два соотношения:

и

Отсюда вычитанием находим

а это показывает, что условие непосредственно влечет за собой условие

Таким образом, общий член интегральной суммы может быть записан в виде

(здесь вместе с ).

Границы значений переменной х определяются из условия теоремы о границах числа т. В самом деле, переписав соотношение (1) в виде

можно на основании неравенств

установить, что значения х заключены в границах чисел a и b, т.е.

При фиксированном п имеем интегральную сумму

которая с изменением п является переменной величиной.

Переход к пределу (для левой части при , а для правой части при ) обращает в нуль второе слагаемое в правой части, и отсюда

Полученное равенство можно переписать в соответствии с формулировкой рассмотренной теоремы:

Дадим геометрическое истолкование теоремы. Чтобы графически представить преобразованный общий член интегральной суммы , обратимся к кривой, соответствующей функции (рис. 4).

Если М — произвольная точка на этой кривой, то произведению будет соответствовать площадь прямоугольника с высотой, равной ординате точки М [это — значение функции ], и с основанием, равным элементарному отрезку на оси Ох, соответствующему в силу соотношения (1) приращению на 1 числа m появлений события А.

Интегральная сумма, выражающая приближенное значение искомой вероятности, численно равна площади ступенчатой фигуры, составленной из элементарных прямоугольников в заданных границах между a и b.

Полученный определенный интеграл, дающий предельное значение той же вероятности при , численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой

,

снизу осью Ох и с боков перпендикулярами к оси Ох в точках и .

До перехода к применению полученного результата при вычислении вероятностей рассмотрим частный случай, когда число т принимает все возможные значения от 0 до п, т.е. когда ищется

Так как условие связано с достоверностью события, то

и это сохраняется при неограниченном возрастании числа независимых испытаний, т. е. и

Найдем пределы соответствующего этому случаю интеграла, т. е. границы значений переменной х.

Из соотношения (1) можно установить, что при а из следует ; при а из следует .

и, таким образом,

Из установленной сходимости этого интеграла (его называют интегралом Лапласа) непосредственно следует, что

а отсюда легко перейти и к интегралу Пуассона.

Действительно, замена дает

и

Интегральная теорема Лапласа применяется для вычисления вероятности того, что число т появлений события А заключено в фиксированных границах

при заданном числе испытаний. Поэтому соответствующая формула приобретает уже приближенный характер, т. е.

и точность достигаемого результата повышается с возрастанием количества испытаний.

Самое отыскание вероятностей связано с определением численных значений найденного интеграла Лапласа

При этом для непосредственных вычислений принята специальная функция, представляющая удвоенный интеграл Лапласа, т. е. Функция

значения которой находятся, например, с помощью степенных рядов.

Эта функция имеет следующие два свойства:

1) с возрастанием х значения Ф(х) возрастают, приближаясь к единице;

2) так как ряд, представляющий эту функцию, состоит из нечетных степеней х, то , т. е. эта функция нечетная. Численные значения функции Ф(х) даются в специальной таблице, и это позволяет находить интеграл

по следующей формуле:

Справедливость этой формулы может быть установлена учащимся.

Таким образом, вся операция состоит в отыскании значений aи b,соответствующих границам а и b, с последующим обращениемк табличным значениям и , и в использовании формулы

Пример 13. Вероятность попадания в цель из скорострельного орудия равна при отдельном выстреле 0,8. Найти вероятность того, что число попаданий при 900 выстрелах будет заключено в границах чисел 690 и 740.

Решение. Здесь n = 900,

и

Пример 14.При вытачивании болтов наблюдается в среднем 10% брака. Можно ли быть уверенным, что в партии из 400 болтов окажутся пригодными более 299?

Решение. Принимая р = 0,9, будем искать .

Значения a и b определим из соотношений:

Но оба значения Ф(х) выходят из границ таблицы, которая составлена для значений х не свыше 4,50. Значениям же х > 4,50 соответствуют значения Ф(х), мало отличающиеся от 1, и поэтому искомая вероятность практически принимается равной 1.

Это означает, что наличие в данной партии более 299 пригодных болтов можно считать достоверным.

Следует заметить, что формула для вычисления вероятности по теореме Лапласа несколько упрощается в случаях, когда границы а и b для возможного числа появлений события А симметричны относительно числа пр, т. е.

Тогда

Пример 15. Пусть при , р=0,8 и q=0,2 требуется найти

Решение. Здесь и поэтому значение a можно найти из соотношения где и .

Значит , а отсюда

Использование функции Ф(х) позволяет также ответить на вопрос о вероятности того, что отклонение частости события ( ) от его вероятности в отдельном испытании (p) не превысит заданной величины. Такой результат достигается следующим преобразованием неравенств (в теореме Лапласа).

Деление всех членов неравенств на п дает:

Эти неравенства эквивалентны неравенствам:

Если абсолютная величина отклонения то , и тогда в силу сохранения вероятности выполнения эквивалентных неравенств имеет место соотношение

или

Переход к заданной величине отклонения e дает

Этот результат позволяет с помощью функции Ф(х) установить вероятность того, что отклонение частости события при п испытаниях от его вероятности по абсолютной величине не превышая заданного числа e.

Пример 16. Вероятность появления события А в отдельном испытании р=0,6. Найти вероятность того, что при 150 испытаниях частость появления этого события будет отличаться от его вероятности не более чем на 0,03.

Решение. Здесь надо искать при условиях , , и Так как



Гиперболоиды