Интегрирование методом замены переменной

Метод замены переменной

С помощью замены переменной можно вычислить простые интегралы и, в некоторых случаях, упростить вычисление более сложных.

Метод замены переменной заключается в том, что мы от исходной переменной интегрирования, пусть это будет x , переходим к другой переменной, которую обозначим как t . При этом мы считаем, что переменные x и t связаны некоторым соотношением x = x ( t ) , или t = t ( x ) . Например, x = ln t , x = sin t , t = 2 x + 1 , и т.п. Нашей задачей является подобрать такую зависимость между x и t , чтобы исходный интеграл либо свелся к табличному, либо стал более простым.

Основная формула замены переменной

Рассмотрим выражение, которое стоит под знаком интеграла. Оно состоит из произведения подынтегральной функции, которую мы обозначим как f ( x ) и дифференциала dx : . Пусть мы переходим к новой переменной t , выбрав некоторое соотношение x = x ( t ) . Тогда мы должны выразить функцию f ( x ) и дифференциал dx через переменную t .

Чтобы выразить подынтегральную функцию f ( x ) через переменную t , нужно просто подставить вместо переменной x выбранное соотношение x = x ( t ) .

Преобразование дифференциала выполняется так:

То есть дифференциал dx равен произведению производной x по t на дифференциал dt .

На практике, чаще всего встречается случай, в котором мы выполняем замену, выбирая новую переменную как функцию от старой: t = t ( x ) . Если мы догадались, что подынтегральную функцию можно представить в виде

где t′ ( x ) – это производная t по x , то

Итак, основную формулу замены переменной можно представить в двух видах.

где x – это функция от t .

где t – это функция от x .

Важное замечание

В таблицах интегралов переменная интегрирования, чаще всего, обозначается как x . Однако стоит учесть, что переменная интегрирования может обозначаться любой буквой. И более того, в качестве переменной интегрирования может быть какое либо выражение.

В качестве примера рассмотрим табличный интеграл

Здесь x можно заменить любой другой переменной или функцией от переменной. Вот примеры возможных вариантов:

В последнем примере нужно учитывать, что при переходе к переменной интегрирования x , дифференциал преобразуется следующим образом:

В этом примере заключена суть интегрирования подстановкой. То есть мы должны догадаться, что

После чего интеграл сводится к табличному.

Можно вычислить этот интеграл с помощью замены переменной, применяя формулу (2). Положим t = x 2 + x . Тогда

Примеры интегрирования заменой переменной

1) Вычислим интеграл

Замечаем, что (sin x )′ = cos x . Тогда

Здесь мы применили подстановку t = sin x .

2) Вычислим интеграл

Замечаем, что . Тогда

Здесь мы выполнили интегрирование заменой переменной t = arctg x .

Замечаем, что . Тогда

Линейные подстановки

Пожалуй, самыми распространенными являются линейные подстановки. Это замена переменной вида

где a и b – постоянные. При такой замене дифференциалы связаны соотношением

Примеры интегрирования линейными подстановками

A) Вычислить интеграл

B) Найти интеграл

ln 2 – это постоянная. Вычисляем интеграл.

C) Вычислить интеграл

Приведем квадратный многочлен в знаменателе дроби к сумме квадратов.

D) Найти интеграл

Преобразуем многочлен под корнем.

Интегрируем, применяя метод замены переменной .

Ранее мы получили формулу

Подставив это выражение, получим окончательный ответ.

E) Вычислить интеграл

Интегрируем и делаем подстановки.

Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 06-09-2015



Понятие и представления комплексных чисел
Производная функции, заданной параметрически