Примеры интегрирования рациональных функций (дробей)

Здесь мы приводим подробные решения трех примеров интегрирования следующих рациональных дробей:

Решение

Здесь под знаком интеграла стоит рациональная функция, поскольку подынтегральное выражение является дробью из многочленов. Степень многочлена знаменателя ( 3 ) меньше степени многочлена числителя ( 4 ). Поэтому, вначале необходимо выделить целую часть дроби.

1. Выделим целую часть дроби. Делим x 4 на x 3 – 6 x 2 + 11 x – 6 :

2. Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить кубическое уравнение:

Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 6 (члена без x ). То есть целый корень может быть одним из чисел:

Итак, мы нашли один корень x = 1 . Делим на x – 1 :

Решаем квадратное уравнение .

3. Разложим дробь на простейшие.

Пример 2

Здесь в числителе дроби – многочлен нулевой степени ( 1 = x 0 ). В знаменателе – многочлен третьей степени. Поскольку 0 < 3 , то дробь правильная. Разложим ее на простейшие дроби.

1. Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить уравнение третьей степени:

Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 3 (члена без x ). То есть целый корень может быть одним из чисел:

Итак, мы нашли один корень x = 1 . Делим x 3 + 2 x – 3 на x – 1 :

Решаем квадратное уравнение:

Находим дискриминант: D = 1 2 – 4·3 = –11 . Поскольку D < 0 , то уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, мы получили разложение знаменателя на множители:

2. Разложим дробь на простейшие. Ищем разложение в виде:

Освобождаемся от знаменателя дроби, умножаем на ( x – 1)( x 2 + x + 3) :

Подставим x = 1 . Тогда x – 1 = 0 ,

Приравняем в (2.1) коэффициенты при x 2 :

Итак, мы нашли разложение на простейшие дроби:

Для вычисления второго интеграла, выделим в числителе производную знаменателя и приведем знаменатель к сумме квадратов.

Поскольку уравнение x 2 + x + 3 = 0 не имеет действительных корней, то x 2 + x + 3 > 0 . Поэтому знак модуля можно опустить.

Пример 3

Здесь под знаком интеграла стоит дробь из многочленов. Поэтому подынтегральное выражение является рациональной функцией. Степень многочлена в числителе равна 3 . Степень многочлена знаменателя дроби равна 4 . Поскольку 3 < 4 , то дробь правильная. Поэтому ее можно раскладывать на простейшие дроби. Но для этого нужно разложить знаменатель на множители.

1. Разложим знаменатель дроби на множители. Для этого нужно решить уравнение четвертой степени:

Предположим, что оно имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2 (члена без x ). То есть целый корень может быть одним из чисел:

Итак, мы нашли один корень x = –1 . Делим на x – (–1) = x + 1 :

Теперь нужно решить уравнение третьей степени:

Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2 (члена без x ). То есть целый корень может быть одним из чисел:

Итак, мы нашли еще один корень x = –1 . Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен на , но мы сгруппируем члены:

Поскольку уравнение x 2 + 2 = 0 не имеет действительных корней, то мы получили разложение знаменателя на множители:

2. Разложим дробь на простейшие. Ищем разложение в виде:

Освобождаемся от знаменателя дроби, умножаем на ( x + 1) 2 ( x 2 + 2) :

Подставим x = –1 . Тогда x + 1 = 0 ,

Подставим x = –1 и учтем, что x + 1 = 0 :

Приравняем в (3.1) коэффициенты при x 3 :

Итак, мы нашли разложение на простейшие дроби:

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 10-05-2015



Производная сложной функции Полная производная
Основные свойства определенного интеграла