Интерполирование функций

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Основные понятия интерполяции, задача, приводящая к приближению функции, геометрический смысл интерполирования

2. Интерполяционный многочлен Лагранжа

3. Схема Эйткена

4. Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа

5. Конечные разности

6. Интерполяционные формулы Ньютона

§ Первая интерполяционная формула Ньютона

§ Вторая интерполяционная формула Ньютона

7. Оценка погрешностей первой и второй интерполяционных формул Ньютона

8. Обратное интерполирование

9. Интерполяция сплайнами

  1. Основные понятия интерполяции, задача, приводящая к приближению функции

Интерполяция (от лат. interpolation - изменение, переделка) - в математике и статистике, отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным её значениям [Сов. энциклопедический словарь].

Задача, приводящая к приближению функции, заключается в следующем. Известны значения функции f (x) в точках x1, x2, :, xn; требуется восстановить её значения при других х.

Интерполяционный полином, передающий свойства функции f (x) будем строить в виде:

Таким образом, Pn(x) f(x).

Точки x1, x2, :, xn называются узлами интерполяции.

· Интерполяционный многочлен Лагранжа

Пусть известны значения функции f (x) в (n+1) точке x0, x1, :, xn. Тогда многочлен Лагранжа, передающий свойства функции f (x), можно записать так:

Схема Эйткена предлагает более удобную форму нахождения полинома Лагранжа.

Основная идея данного метода заключается в следующем.

На первом этапе вычисляются многочлены L0,1(x), L1,2(x), :, Ln-1,n(x), построенные на каждой паре соседних узлов 0,1; 1,2; :; n-1,n соответственно.

При этом , , :, .

Таким образом, многочлены, построенные на паре соседних узлов, вычисляются по формулам: .

Затем на основе этих многочленов вычисляются многочлены, построенные на тройках соседних узлов: .

И т.д. пока не получится один многочлен, построенный на всех узлах интерполяции: .

Полученный многочлен L0, 1, . n(x) Ln(x).

· Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа

Вычисляя погрешность Rn(x) таким образом: Rn(x) = f (x) - Ln(x), можно получить следующую формулу для оценки погрешности интерполяционной формулы Лагранжа: .

Такая оценка возможна только в том случае, когда известно аналитическое выражение для f. Если же f задана таблично, то производные заменяются конечными разностями.

· Интерполяционные формулы Ньютона

Нужно построить Pn(x), удовлетворяющий двум условиям:

1. Степень полинома не должна превышать n.

Формула Pn(x) для первой интерполяционной формулы Ньютона имеет вид: ,

Первая интерполяционная формула Ньютона применяется тогда, когда x находится вначале таблицы. Тогда в качестве x0 следует брать ближайшее слева к заданному x табличное значение.

Когда значение аргумента находится ближе к концу отрезка интерполяции, применять первую интерполяционную формулу становится невыгодно.

Для этого применяется вторая интерполяционная формула Ньютона: ,

Здесь в качестве xn следует брать ближайшее справа к заданному x табличное значение.

· Оценка погрешностей первой и второй интерполяционных формул Ньютона

Используя подстановки q = ( x - x0 ) / h и q = ( x - xn ) / h и заменяя соответствующим образом выражение для Пn+1(x) в формуле оценки погрешности интерполяционной формулы Лагранжа, получим формулы для оценки погрешности интерполирования по первой и второй интерполяционной формуле Ньютона соответственно:

,

.

Задача обратного интерполирования заключается в следующем. Если значения <yi> в таблице упорядочены по возрастанию или убыванию, то функция y = f (x) монотонна на [ x0 , xn ], и эту же таблицу можно интерпретировать как задание дискретного образа функции x = φ(y), обратной по отношению к функции y = f(x). Для этой обратной функции также может быть поставлена задача интерполирования: найти значение x* по заданному значению y*.

Пусть <xi> равноотстоящие узлы, расположенные на расстоянии h друг от друга и построен один из полиномов Ньютона (для определённости - первый): .

При решении задачи обратного интерполирования с помощью этого полинома в его левой части возникает известное значение y*, а сама формула становится алгебраическим уравнением относительно х. Если числа <yi> упорядочены по возрастанию или убыванию, то это уравнение имеет единственное решение на [ x0 , xn ].

Его решение следует искать любым из изученных ранее методов для решения нелинейных уравнений.

В рассматриваемом нами случае наиболее естественным способом для решения уравнения является метод простой итерации.

Подставим y = y* в вышепредставленную формулу и преобразуем получившееся равенство к виду: .

Это уравнение имеет структуру x = φ(x), т.е. по виду пригодно для применения метода простой итерации.

В качестве начального приближения можно взять значение x (0) = xi, ближайшее к искомому х*. Имея начальное приближение x (0) , строим итерационный процесс для решения полученного уравнения пока не будет достигнута заданная точность:

При большом количестве узлов интерполяции сильно возрастает степень интерполяционных многочленов, что делает их неудобными для вычислений.

В этом случае удобно пользоваться особым видом кусочно-полиномиальной интерполяции - интерполяции сплайнами.

Суть этого подхода заключается в следующем.

Определение. Пусть отрезок [a, b] разбит точками на n частичных отрезков [xi , xi+1],i = 0, 1, :, n-1. Сплайном порядка m называется функция Sm (x), обладающая следующими свойствами:

1) Функция Sm (x) непрерывна на отрезке [a, b] вместе со своими производными до некоторого порядка р.

2) На каждом отрезке [xi , xi+1] функция совпадает с некоторым алгебраическим многочленомPm,i (x) степени m.

Разность m - p между степенью сплайна и наивысшим порядком непрерывной на отрезке [a, b] производной называют дефектом сплайна.

Будем рассматривать сплайны, дефект которых равен 1.

Наиболее широкое распространение получили кубические сплайны S3 (x).

Итак, для осуществления интерполяции необходимо построить такой сплайн, что S(xi ) = yi, i = 0, 1, :, n.

Согласно определению кубический сплайн можно представить в виде: ,

где каждый из P3, i (x) - многочлен третьей степени: .

Можно показать, что коэффициенты сi вычисляются по формулам: .

Для вычисления коэффициентов di используются формулы: .

Для вычисления коэффициентов bi - формулы: .

Дата добавления: 2017-05-02 ; просмотров: 1337 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ



Система линейных уравнений с многими неизвестными Метод Гаусса
Компланарные векторы


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать