Интерполирование функций

Интерполирование и приближение функции

Основная задача классической теории интерполяции заключается в следующем. Пусть известны значения некоторой функции y = f(x) в точках х0, х1, …, хn требуется заменить f(x) другой функцией F(x), которая бы просто вычислялась и была близка к f(x) в некотором смысле. К такой задаче можно прийти, если:

1) функция f(x) задана таблично;

2) вычисление значений f(x) трудоемко и требуется найти значения f(x) при x=xk. Чтобы эта задача была корректной, на функцию f(x) необходимо наложить дополнительные условия: например, потребовать непрерывность ее производных.

Способ приближения функции f(x) некоторой функцией F(x), основанный на требовании: F(xk)=f(xk) называется интерполированием или интерполяцией.

Чаще всего интерполирующую функцию F(x) находят в виде алгебраического многочлена. Такой способ приближения имеет в своей основе гипотезу, что на небольших отрезках изменения х функция f(x) может быть достаточно хорошо приближена с помощью параболы некоторого порядка, аналитическим выражением которой и будет алгебраический многочлен.

К интерполированию приходится иногда прибегать и в том случае, когда для функции f(x) известно и аналитическое представление, с помощью которого можно вычислять ее значения для любого значения х из отрезка [a, b], в котором она определена, но вычисление каждого значения сопряжено с большим объемом вычислений. Если в процессе решения задачи необходимо находить значения функции f(x) для очень большого количества значений аргумента, то прямой способ потребовал бы громадной вычислительной работы. В этом случае для уменьшения объема вычислений прибегают к интерполированию, т.е. вычисляют несколько значений f(xi) (i=0, 1. n) и по ним строят простую интерполирующую функцию F(x), с помощью которой и вычисляют приближенные значения f(x) в остальных точках.

Интерполяцией функции f(x) называется замена ее функцией F(x) определенного класса, совпадающей с f(x) в точках xk. При этом точки xk называются узлами интерполяции.

Если интерполяционная функция F(x) строится на всем рассматриваемом интервале изменения аргумента х, то такая интерполяция называется глобальной (когда F(x) проходит через все узлы). В противном случае интерполяцию называют кусочной или локальной (когда находим F(x) по некоторым узлам).

Погрешностью интерполяции функции f(x) на некотором отрезке называется максимум величины |f(x)-F(x)| на этом отрезке.

Наиболее важным и распространенным типом интерполяции является полиномиальная. Это обусловлено как большей простотой вычисления полиномов по сравнению с другими классами интерполирующих функций, так и более развитым математическим аппаратом.

Интерполяция методом Лагранжа

Один из подходов к задаче интерполяции это метод Лагранжа. Основная идея этого метода состоит в том, чтобы прежде всего найти многочлен, который принимает значение 1 в одной узловой точке и 0 во всех других.

Пусть на отрезке заданы точки , (узлы интерполирования), в которых известны значения функции . Задача интерполирования алгебраическими многочленами состоит в том, чтобы построить многочлен

степени n, значения которого в заданных точках , , совпадают со значениями функции в этих точках.

Запишем систему многочленов n-й степени:

Составим линейную комбинацию этих многочленов (их количество равно n + 1) с коэффициентами линейной комбинации, равными значениям сеточной функции, получим многочлен n-й степени:

Многочлен (3) называют интерполяционным многочленом Лагранжа n-й степени, так как он, во-первых, удовлетворяет условию интерполяции

и, во-вторых, имеет n-ю степень.

Интерполяционный многочлен Лагранжа обладает тем недостатком, что в случае, когда добавляются новые узлы интерполяции, все слагаемые необходимо пересчитывать. Но, с другой стороны, он обладает тем достоинством, что интервалы между узлами могут быть неравномерными:

Если у нас есть свобода выбора точек x0,. xn, через которые мы будем проводить полином, то можно повысить точность интерполяции на выбранном нами отрезке [a, b] за счет особого способа выбора точек. Обычно рекомендуется выбирать точки xi так, что они будут корнями полинома Чебышева n+1-ой степени, определенного на отрезке [a, b]. Это расположение определяется следующими формулами:



Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика
Определение смешанного произведения, его геометрический смысл


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать