Свойства первого дифференциала функции.

На мой взгляд, основным необходимым навыком для успешного вычисления неопределенных интегралов является умение вносить функцию под знак дифференциала или извлекать таковую из-под знака дифференциала, основанное на свойствах его инвариантности и линейности.

Свойство инвариантности первого дифференциала функции.

Точнее, свойство инвариантности его формы или формулы.

Формула дифференциала функции имеет вид dy = y' (xdx , где dx - дифференциал независимой переменной.

Но последние два сомножителя в этом произведении совпадают с дифференциалом функции u , который по определению имеет вид du = u' (x)dx , т.е. в новых обозначениях dy = f ' (udu

Таким образом, мы получили формулы одного и того же вида для дифференциала функции f (φ(x)) от независимой переменной x и для дифференциала функции f(u) от промежуточного аргумента u, представляющего собой дифференцируемую функцию от x.

Это и есть свойство инвариантности формы (формулы) первого дифференциала.

Рассматриваем переменную х . Это независимая переменная, дифференциал

Здесь везде в конце вместо обозначений u и t подставлены их выражения в явном виде.

Нижний индекс показывает по какой переменной вычисляется производная.

Свойство инвариантности, утверждающее, что это один и тот же дифференциал, позволяет записать следующиую цепочку равенств

Это и есть процесс вынесения функций за знак дифференциала.

Сначала за знак дифференциала вынесена производная функции синус по его аргументу, аргумент остался под знаком следующего дифференциала. Затем вынесена производная поддиференциального выражения по переменной √x _ , она оказалась равной минус единице, под знаком дифференциала остался квадратный корень. И, наконец, после вынесения производной квадратного корня, остался дифференциал независимой переменной.

Другими словами "инвариантность" - это, когда "без вариантов". Какие переменные ни вводи, до какой степени подробности ни вычисляй производную, главное записывай единообразно, и результат будет верным.

Чтобы внести функцию под знак дифференциала, надо построить такую же цепочку в обратную сторону. Для этого уже потребуется определять не производные, а первообразные функций, стоящих перед знаком дифференциала. Например,

Функция косинус внесена под знак дифференциала. Для этого мы сначала убедились в идентичности переменных под знаками функции и дифференциала (здесь явной заменой переменных, что необязательно), а затем просто вспомнили, что первообразной косинуса является синус.

Дробь с квадратным корнем внесена под знак дифференциала. Здесь числитель и знаменатель дроби зависели от разных переменных, поэтому мы вынуждены были сначала выделить сомножитель, соответствующий производной корня второй степени, а затем записать его первообразную, т.е. сам корень, под знаком дифференциала.

Чем лучше вы ориентируетесь в производных и первообразных основных элементарных функций, тем легче будет увидеть следующий шаг. Полагаю, что и таблицу производных, и таблицу первообразных вы уже изучали, но теперь удобнее свести их в одну. Поэтому рекомендую повторить Единую таблицу производных и первообразных.

Свойства линейности первого дифференциала функции.

.

О последней из них часто забывают и, пользуясь полной формулой дифференцирования дроби, делают совершенно необязательные ошибки из серии "на невнимательность". Поэтому напоминаю еще раз, постоянный множитель можно выносить за знак производной. Ориентируйтесь следующие примеры.

Поскольку дифференциал функции определяется через её производную, при вычислении дифференциала срабатывают те же свойства и правила.

Дополнительные примеры и упражнения.

Сначала расставили скобки, чтобы разобраться в сложных функциях, и выделили выражение с независимой переменной.

В первом выражении потеряны коэффициент и знак первообразной синуса.

Во втором, вероятно, была неправильно выделена производная арктангенса. В знаменателе этой функции должна стоять единица(!) плюс квадрат переменной.

В третьем случае вместо первообразной внесена под знак дифференциала производная, что является грубой ошибкой.

Ниже правильные решения подробно. Как уже упоминалось, замену переменных можно делать явно, как в первых двух случаях, или устно, как в последнем.

При обнаружении ошибок или опечаток - сообщайте, пожалуйста, на e-mail.

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.



Арифметические операции над комплексными числами
Как решить систему линейных уравнений?