Вопрос 4. Дифференцирование сложных функций. Инвариантность формы полного дифференциала 1-го порядка

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке x0 , а функция g имеет производную в точке y0 = f(x0) , то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке x0 .

Одномерный случай

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, где y0 = f(x0), и Пусть также эти функции дифференцируемы: Тогда их композиция также дифференцируема: и её производная имеет вид:

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции y = y(x), где x = x(t), принимает следующий вид:

Инвариантность формы первого дифференциала

где dy — дифференциал тождественного отображения :

Пусть теперь Тогда , и согласно цепному правилу:

Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.

Пусть Тогда функция может быть записана в виде композиции где

Дифференцируя эти функции отдельно:

Многомерный случай

Пусть даны функции где y0 = f(x0), и Пусть также эти функции дифференцируемы: и Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид

В частности, матрица Якоби функции h является произведением матриц Якоби функций g и f:

  • Якобиан композиции двух функций является произведений якобианов индивидуальных функций:

Для частных производных сложной функции справедливо

Инвариантность формы полного дифференциала

Используя правило дифференцирования сложной функции, можно показать, что полный дифференциал обладает свойством инвариантности: полный дифференциал функции z=ƒ(х;у) сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются ли аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных.

Пусть z=ƒ(х;у), где х и у — независимые переменные. Тогда полный дифференциал (1-го порядка) функции имеет вид

(формула (44.5)).

Рассмотрим сложную функцию z=ƒ(х;у), где х = x(u;v), у = y(u;v), т. е. функцию z = f(x(u;v);y(u;v)) = F(u;v;), где u и v — независимые переменные. Тогда имеем:

Выражения в скобках представляют собой полные дифференциалы dx и dy функций х = х(u;v) и y = y(u;v). Следовательно, и в этом случае,

Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.



Поверхностный интеграл II рода