Как найти функцию комплексной переменной?

Пусть задана однозначная функция на области (открытом связном множестве) комплексной плоскости .

Производной от функции в точке называется предел

(1)

когда любым образом стремится к нулю.

Далеко не всякая функция комплексного переменного имеет производную. Существование предела (1) – очень сильное требование: при подходе к по любому пути каждый раз должен существовать указанный в (1) предел.

Функцию , имеющую непрерывную производную в любой точке области комплексной плоскости, называют аналитической функцией на этой области.

Можно доказать, что если производная аналитической функции не равна нулю на области , то множество значений функции также есть область. Мы будем пользоваться этим свойством.

Дадим геометрическое представление производной , когда она не равна нулю. Кроме плоскости , введем еще другую плоскость точек . Опишем из точки открытый круг радиуса с центром в ней (рис. 131).

Произвольная точка имеет вид , где - произвольное комплексное число с модулем, меньшим . Запишем в показательной форме

. (2)

При помощи функции круг перейдет в некоторую область плоскости . Область состоит из точек , где приращения соответствуют всевозможным указанным приращениям (см. рис. 131).

Из (1) следует равенство

, где .

Умножая левую и правую части последнего равенства на , получаем

. (3)

Произведение стремится к нулю при быстрее чем . Поэтому, если , то первый член правой части (3) является главным. Приближенно, с точностью до бесконечно малых высшего порядка (по сравнению с ), при достаточно малых можно написать

.

Число запишем в показательной форме

. (4)

Поэтому, учитывая (2), получим

.

Мы видим, что модуль , с точностью до бесконечно малой высшего порядка, в раз больше модуля :

,

а аргумент (тоже с точностью до бесконечно малой высшего порядка) получается из аргумента прибавлением к нему числа (рис. 132):

.

Таким образом, для того чтобы представить себе, куда перешли точки с при помощи функции надо 1) повернуть круг на угол и 2) растянуть его в раз. Каждая точка , , при помощи этих двух операций перейдет в некоторую точку, которую надо еще сдвинуть на величину - бесконечно малую высшего порядка чем .

Пусть и - гладкие кривые, выходящие из точки . Касательные к ним образуют с осью углы соответственно (отсчитываемые от оси против часовой стрелки). Образы этих кривых на плоскости (рис. 133) при помощи функции имеют касательные в точке , образующие с осью абсцисс соответственно углы (которые отсчитываются тоже против часовой стрелки).

При этом (в силу свойства 1))

, ,

откуда следует свойство

,

выражающее, как говорят, что данное отображение сохраняет углы и притом с сохранением направления отсчета (если , то ).

Кроме того, как мы видели выше, данное отображение осуществляет в каждой точке , где , растяжение, не зависящее от направления.

Отображение, обладающее (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) свойством сохранения углов (с сохранением направления отсчета) и свойством постоянства растяжений, называется конформным отображением.

Из вышеизложенного следует, что отображение с помощью аналитической функции является конформным во всех точках, где .

Замечание 1. Если функция комплексной переменной имеет всюду на области производную , то автоматически эта производная непрерывна всюду на , т. е. аналитическая на . Этим утверждением мы будем пользоваться, хотя доказывать его не будем.

Замечание 2. Из равенства (3) следует, что если функция имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке (т. е. при ).

Производная от функции порядка обозначается через и определяется по индукции

.

Зная, что у аналитической на области функции производная непрерывна на , нам будет в дальнейшем нетрудно заключить, что имеет на непрерывные производные любого порядка

.

Употребляют еще такую терминологию: функция называется аналитической в точке , если она аналитическая на некоторой окрестности этой точки. Наконец, говорят, что функция аналитическая на замыкании области , если существует область , содержащая в себе , на которой аналитическая.

Приведем основные свойства производных функций комплексного переменного, аналогичные соответствующим свойствам производных для функций действительного переменного, которые и доказываются аналогично:

, (5)

, (6)

, (7)

. (8)

Формулу (8) надо понимать так: если есть функция комплексного переменного , имеющая производную , a - функция от комплексной переменной , имеющая производную , то производная сложной функции

вычисляется по формуле (8).

Ниже мы приводим некоторые элементарные функции комплексного переменного.

,

- целое.

Эта функция имеет производную, вычисляемую по формуле

.

При ее удобно вычислить как предел

,

применяя формулу бинома Ньютона.

При теперь можно воспользоваться формулой (7).

Функция при аналитическая на всей плоскости , а при на всей плоскости с выколотой из нее точкой .

Функции , , , .

Первые три из этих функций определены в нашей книге «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 9.13, как суммы степенных рядов:

,

,

.

Радиус сходимости каждого из этих рядов равен . Поэтому производные от этих функций могут быть получены для любого почленным дифференцированием соответствующих рядов:

.

.

.

Формулы для тригонометрических функций суммы комплексных аргументов остаются такими же, как и в случае действительного переменного.

Функция определяется по формуле

.

Ее производная равна

,

что следует из формулы (7).

Функция ( ) может быть определена по формуле

.

Ее производная вычисляется на основании формулы (8) о производной сложной функции:

.

Гиперболические функции , , определяются формулами

, , .

Отсюда следует, что

, . (9)

Заменяя в (9) на , получаем

, . (10)

Отметим еще легко проверяемую формулу

.

Формулы сложения для гиперболических функций легко получить из (9) и (10) соответствующих формул для тригонометрических функций от комплексного переменного. Например:

.

Производные от этих функций вычисляются на основании формул (5), (7), (8):

, ,

.

Пример. Выделить действительную и мнимую части у функции и найти нули этой функции.

Пусть , .

Имеем .

Таким образом, , .

Чтобы найти нули функции , мы должны приравнять нулю ее действительную и мнимую части:

Решим эту систему. Так как для любого действительного , то из первого уравнения получаем .

Из второго уравнения при получаем, что . При действительных косинус и синус не обращаются одновременно в нуль, поэтому при система решений не имеет. Если же , то и второе уравнение удовлетворяется при любых . Таким образом, нули функции расположены на действительной оси и совпадают с нулями .

Замечание 3. Из этого утверждения следует, что нули функции совпадают с нулями функции , где .

Замечание 4. Отметим еще § 6.15, посвященный линейной и дробно-линейной функциям; его можно читать и непосредственно после настоящего § 6.2.

Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт



Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей