Геометрия комплексных чисел pdf слайды

Комплексные числа имеют геометрическую интерпретацию как точки на плоскости или двумерные векторы.

Комплексная плоскость

Рассмотрим плоскость и прямоугольную систему координат на ней. Ось абсцисс обозначим $\operatorname z$ и будем называть действительной осью, а ось ординат обозначим $\operatorname z$, будем называть мнимой осью. Каждому комплексному числу $z=x+iy$ сопоставим точку на этой плоскости с координатами $(x,y)$, и, другими словами, радиус-вектор с координатами $(x,y)$.

Заметим, что соответствие между комплексными числами и точками на комплесной плоскости является взаимнооднозначным соответствием (а в случае с вещественными числами, соответствие строится с точкам на вещественной прямой).

Модуль комплексного числа $z=x+iy$ равен длине вектора, соответствующего данному числу на комплексной плоскости, $$|z|= \sqrt.$$ Несложно проверить, что расстояние между двумя точками комплексной плоскости $z_1$ и $z_2$ равно $|z_1-z_2|$. То есть, модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между точками на комплексной плоскости, которым соответствуют этим числам.

Определение. Аргументом комплексного числа $z=x+iy$ называется угол $\varphi$ между вектором $(x,y)$ и положительным направлением действительной оси $\operatorname z$ измеряемый против хода часовой стрелки.

Аргумент числа $z$ обозначается $\operatorname z$.

Строго говоря, аргумент комплексного числа определен не однозначно, в общем виде аргумент можно записать как $$ \operatorname z = \arg z + 2\pi k ,\text < где >k\in\mathbb Z, $$ где $\arg z$ - главное значение аргумента, $0\leqslant \arg z Сумма

Разность $z_1-z_2$ представляется вектором, конец которого находится в точке $z_1$, а начало --- в точке $z_2$.

Геометрический смысл умножения на мнимую единицу $i$ состоит в повороте на угол $\pi/2$. Действительно, пусть $z=x+iy$, тогда $i\cdot z = -y + ix$. Преобразование $(x,y)\mapsto(-y,x)$ --- это поворот вектора $(x,y)$ на $\pi/2$ против часовой стрелки.

Умножение комплексного числа $z=x+iy$ на комплексную экспоненту $e^$ соответстует повороту на угол $\theta$ против часовой стрелки.

Комплексным сопряжением числа $z$ на комплексной плоскости является вектор, симметричный вектору $z$, относительно оси абсцисс.

В качестве несложного упражнения, изобразите как на комплексной плоскости будет выглядеть вектор $-z$.

Пример 1. Зафиксируем $z_0\in\mathbb C$ и $r\in\mathbb R$, $r>0$. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, соответствующих комплексным числам $z$, которые удовлетворяют условиям: $$ 1) \ |z-z_0|=r, \quad 2) \ |z-z_0|\leqslant r. $$

1) Пусть $z=x+iy$ и $z_0=x_0+iy_0$. Распишем модуль комплексного числа $|z-z_0|$ по определению: \begin |z-z_0| = |x+iy - (x_0+iy_0)| =\\ |x-x_0 + i(y-y_0)|= \sqrt<(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2>. \end Тогда равенство $|z-z_0|=r$ равносильно \begin \sqrt <(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2>= r \quad \text < или >\quad (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2. \end В свою очередь, уравнение $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2$ задаёт окружность с центром в точке $(x_0,y_0)$ и радиусом $r$.

2) Рассуждая аналогичным образом, приходим к выводу, что неравенство $|z-z_0|\leqslant r$ равносильно неравенству $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 \leqslant r^2$, которое задаёт круг.

Пример 2. Исходя из геометрических рассуждений, доказать неравенство \begin \left|\frac<|z|>-1\right| \leqslant \arg z. \end

Число $\frac<|z|>$ находится на единичной окружности. Построим на комплексной плоскости вектор, соответствующий разности $\frac <|z|>- 1$.

Длина дуги единичной окружности, соединяющей точки $1$ и $\frac<|z|>$, равна $\arg z$ и не может быть меньше длины отрезка соединяющего эти точки.

Тригонометрическая форма записи

Пусть $z=x+iy$ и $\varphi = \operatorname z$, тогда \begin\label \cos\varphi = \frac<\sqrt>, \quad \sin\varphi = \frac<\sqrt>. \end Обозначим $\rho = \sqrt$. Из \eqref выводим \begin\label \operatorname z = x = \rho\cos\varphi \quad\text< и >\quad \operatorname z = y = \rho\sin\varphi. \end В итоге из \eqref имеем \begin\label z = \rho(\cos\varphi+i\sin\varphi). \end

Запись \eqref называется тригонометрической формой комплексного числа, где $\rho=|z|$, а $\varphi = \operatorname z$.

Например, найдём число $z=1+i$ в тригонометрической форме.

Данное число $z$ на комплексной плоскости является вектором с координатами $(1,1)$. Вектор направлен по диагонали единичного квадрата, и поэтому угол $\varphi=\pi/4$. Длина вектора (модуль $z$) $\rho = \sqrt <1+1>= \sqrt<2>$. Таким образом, $$z=\sqrt<2>(\cos\frac<\pi> <4>+ i\sin\frac<\pi><4>).$$

2. Пусть $|z|=2$ и $\arg z = \frac<\pi><6>$. Представить $z$ в виде $x+iy$.

3. Найти геометрическое место точек $z$ на комплексной плоскости, которые удовлетворяют соотношению $|z-i| + |z+i| = 16$.

Эллипс с фокусами в точках $-i$ и $i$, каноническое уравнение $\frac<63>+\frac <64>=1$.

4. Представить $z=\sqrt<3>+i$ в тригонометрической форме.

5. Представить $z=-2+i2\sqrt<3>$ в тригонометрической форме.

7. Вычислить $(1+\cos\theta+i\sin\theta)^n$, где $n\in\mathbb N$.



Линейные уравнения


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать