Метод координат в пространстве

Положение любой точки в пространстве можно однозначно определить с помощью прямоугольной системы координат. Эта система включает три взаимно перпендикулярные оси, пересекающиеся в одной точке О – начале координат. Одну из осей называют осью абсцисс (ось Ох), другую – осью ординат (Оу), третью – осью аппликат (Oz). Плоскости XOY, XOZ и YOZ называются координатными плоскостями. Какой-либо отрезок принимается за единицу масштаба для всех трех осей. Положительные направления на осях выбираются так, чтобы поворот на 90 0 , совмещающий положительный луч OX с положительным лучом OY, казался проходящим против часовой стрелки, если смотреть со стороны луча OZ. Такая система координат называется правой.

Положение любой точки М в пространстве можно определить тремя координатами следующим образом. Через М проводим плоскости, параллельные плоскостям XOY, XOZ и YOZ. В пересечении с осями получаем точки, например, P, Q и R соответственно. Числа х (абсцисса), у (ордината), z (аппликата), измеряющие отрезки OP, OQ и OR в избранном масштабе, называются прямоугольными координатами точки М. Они берутся положительными или отрицательными в зависимости от того, лежат ли соответствующие отрезки на положительной или отрицательной полуоси. Каждой тройке чисел (х; у; z) соответствует одна и только одна точка пространства, и наоборот.

Расстояние между двумя точками и вычисляется по формуле:(1.6)

Координаты (x; y; z) точки М, делящей в заданном отношении отрезокАВ, (,) определяются по формулам:

, , (1.7)

В частности, при (точкаМ делит отрезок АВ пополам), получаются формулы для определения координат середины отрезка:

, , (1.8)

Пример 4: На оси Оу найти точку, равноудаленную от двух точек и .

Решение: Точка М, лежащая на оси Оу, имеет координаты . По условию задачи |АМ| = |ВМ|. Найдем расстояния |АМ| и |ВМ|, используя формулу (1.6):

Получим уравнение: .

Отсюда находим, что 4у = 16, т. е. у = 4. Искомая точка есть М(0; 4; 0).

Пример 5: Отрезок АВ разделен на 3 равные части. Найти координаты точек деления, если известны точки и .

Обозначим точки деления отрезка АВ в следующем порядке: С и D. По условию задачи |АС| = |CD| = |DB|. Поэтому точка С делит отрезок АВ в отношении . Пользуясь формулами (1.7), находим координаты точки С:

, ,.

Имеем, .

По формулам (1.8) находим координаты точки D – середины отрезка СВ:

, ,.

То есть точка D имеет координаты: .

Пример 6: В точках , ,, сосредоточены соответственно массыm1, m2, m3, m4. Найти координаты центра тяжести системы этих масс.

Как известно из курса физики центр тяжести масс m1 и m2, помещенных в точках А и В, делит отрезок АВ на части, обратно пропорциональные массам, сосредоточенным на концах отрезка (). Исходя из этого, найдем сначала центр тяжестисистемы двух массm1 и m2, помещенных в точках А1и А2:

, ,.

Центр тяжести системы трех масс m1 и m2 и m3 () находим аналогично:

, ,.

, ,.

Вопросы для контроля:

Опишите прямоугольную систему координат на плоскости и все ее компоненты.

Как определяются координаты произвольной точки плоскости?

Напишите формулу для нахождения расстояния между двумя точками на плоскости.

Как найти координаты точки, делящей в заданном отношении отрезок?

Напишите формулы координат середины отрезка.

Напишите формулу, по которой вычисляется площадь треугольника, если известны координаты его вершин.

Опишите полярную систему координат.

Что называют полярным радиусом? В каких пределах он измеряется?

Что называют полярным углом? Пределы его измерения?

Как найти прямоугольные координаты точки, для которой известны полярные координаты?

Как найти полярные координаты точки, для которой известны прямоугольные координаты?

Как найти расстояние между точками в полярной системе координат?

Опишите прямоугольную систему координат в пространстве и все ее компоненты.

Как определить координаты точки в пространстве?

Запишите формулу для нахождения расстояния между двумя точками в пространстве.

Запишите формулы для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении для трехмерной системы координат.

Для продолжения скачивания необходимо собрать картинку:



Свойства дифференциала


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать