Угол между двумя векторами

Пусть в n-мерном пространстве задан ортонормированный базис

Как известно скалярное произведение ненулевых векторов x и y называется произведение

Если x=0 или y=0, то скалярное произведение равно нулю.

Вариант 1. Начальные точки всех векторов совпадают с началом координат.

Так как рассматривается пространство с ортонормированным базисом, то скалярное произведение можно вычислить также из выражения

координаты векторов x и y соответственно.

Из выражений (1) и (2) следует, что косинус угла между двумя векторами равен

И, следовательно, угол между двумя векторами будет равен

Вариант 2. Начальные точки векторов произвольные.

Пусть заданы векторы x=AB и y=CD, где ,,,.

Переместим параллельно векторы x и y так, чтобы начальные точки векторов совпали с началом координат. Получим векторы x' и y' с координатами (т.е. с конечными точками):

При таком перемещении угол между векторами x и y равен углу между векторами x' и y'. Следовательно косинус угла между двумя векторами равен:

Угол между двумя векторами будет равен:

Примеры вычисления угла между двумя векторами

Вариант 1. Начальные точки всех векторов совпадают с началом координат.

Пример . Найти угол между векторами x=(7,2) и y=(4,5).

На рисунке Рис. 1 в двухмерном пространстве представлены векторы x=(7,2) и y=(4,5).

Для вычисления угла между векторами x и y, вычислим нормы векторов x и y:

Косинус угла между векторами x и y, будет равен:

Из выражения (5) вычисляем угол φ:

Вариант 2. Начальные точки векторов произвольные.

На рисунке Рис. 2 в двухмерном пространстве представлены векторы x=AB и y=CD.

Переместим параллельно векторы x и y так, чтобы начальные точки векторов совпали с началом координат. Получим векторы x' и y' с координатами (т.е. с конечными точками): x'=(3-(-1),7-1)=(4,6), y'=(12-3,5-2)=(9,3).

Угол φ между векторами x и y равен углу φ' между векторами x' и y'. Поэтому вычисляя угол φ' , получим угол между векторами x и y.

Вычислим норму векторов x' и y':

Косинус угла между векторами x' и y':



Расстояние между двумя точками на плоскости
Эйлеровы интегралы