Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием

Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида:

Интегрируем n раз.

и так далее. Так же можно использовать формулу:

Уравнения, не содержащие зависимую переменную y в явном виде

Подстановка приводит к понижению порядка уравнения на единицу. Здесь – функция от .

Уравнения, не содержащие независимую переменную x в явном виде

Для решения этого уравнения, делаем подстановку

Считаем, что является функцией от . Тогда

Аналогично для остальных производных. В результате порядок уравнения понижается на единицу.

Уравнения, однородные относительно y, y′, y′′, .

Для решения этого уравнения, делаем подстановку

где – функция от . Тогда

Аналогично преобразуем производные и т.д. В результате порядок уравнения понижается на единицу.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка:

где – функции от независимой переменной . Пусть есть n линейно независимых решений этого уравнения. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид:

где – произвольные постоянные. Сами функции образуют фундаментальную систему решений.

Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения n-го порядка – это n линейно независимых решений этого уравнения.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка:

Пусть есть частное (любое) решение этого уравнения. Тогда общее решение имеет вид:

где – общее решение однородного уравнения (1).

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и приводящиеся к ним

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Это уравнения вида:

Здесь – действительные числа. Чтобы найти общее решение этого уравнения, нам нужно найти n линейно независимых решений , которые образуют фундаментальную систему решений. Тогда общее решение определяется по формуле (2):

Ищем решение в виде . Получаем характеристическое уравнение:

Если это уравнение имеет различные корни , то фундаментальная система решений имеет вид:

Если имеется комплексный корень

то существует и комплексно сопряженный корень . Этим двум корням соответствуют решения и , которые включаем в фундаментальную систему вместо комплексных решений и .

Кратным корням кратности соответствуют линейно независимых решений: .

Кратным комплексным корням кратности и их комплексно сопряженным значениям соответствуют линейно независимых решений:

Линейные неоднородные уравнения со специальной неоднородной частью

Рассмотрим уравнение вида

где – многочлены степеней s 1 и s 2 ; – постоянные.

Сначала мы ищем общее решение однородного уравнения (3). Если характеристическое уравнение (4) не содержит корень , то ищем частное решение в виде:

s – наибольшее из s 1 и s 2 .

Если характеристическое уравнение (4) имеет корень кратности , то ищем частное решение в виде:

После этого получаем общее решение:

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

Здесь возможны три способа решения.

1) Метод Бернулли.

Сначала находим любое, отличное от нуля, решение однородного уравнения

Затем делаем подстановку

где – функция от переменной x . Получаем дифференциальное уравнение для u , которое содержит только производные от u по x . Выполняя подстановку , получаем уравнение n – 1 - го порядка.

2) Метод линейной подстановки.

где – один из корней характеристического уравнения (4). В результате получим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами порядка . Последовательно применяя такую подстановку, приведем исходное уравнение к уравнению первого порядка.

3) Метод вариации постоянных Лагранжа.

В этом методе мы сначала решаем однородное уравнение (3). Его решение имеет вид:

Далее мы считаем, что постоянные являются функциями от переменной x . Тогда решение исходного уравнения имеет вид:

где – неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение и накладывая на некоторые ограничения, получаем уравнения, из которых можно найти вид функций .

Уравнение Эйлера

Оно сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой:

Однако, для решения уравнения Эйлера, делать такую подстановку нет необходимости. Можно сразу искать решение однородного уравнения в виде

В результате получим такие же правила, как и для уравнения с постоянными коэффициентами, в которых вместо переменной нужно подставить .

В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.

Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 13-06-2017 Изменено: 12-12-2017



Уравнение прямой, параллельной оси ординат
Применение теории максимума и минимума к решению задач