Механические приложения определенного интеграла

1. Вычисление площади плоской фигуры

1.1. Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрезке [ a , b ]. Тогда площадь фигуры, ограниченной осью ОХ, отрезками прямых x = a , x = b и графиком функции , может быть вычислена по формуле (см. 10.1 рис. 1).

1.2. Если на отрезке [ a , b ], - непрерывные функции, то площадь фигуры, ограниченной прямыми х = а, x = b , графиками функций вычисляется по формуле (рис. 10).

1.3. Если функция на отрезке [ a , b ] принимает значения разных знаков, то площадь фигуры, заключенная между кривой и осью , равна (рис. 11).

р ис. 10 р ис. 11

П р и м е р 15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и .

Решение. Вычислим координаты точек пересечения графиков этих функций. Для этого решим систему

=

кв. ед. (рис. 12).

1.4. При вычислении площади криволинейной трапеции, в случае когда верхняя граница задана параметрическими уравнениями a £ t £ b в формуле надо сделать замену переменной, положив , тогда получим , где a и b - значения параметра t , соответствующие значениям x = a и x = b , т. е. .

П р и м е р 16. Найти пло-щадь фигуры, ограниченной од ной аркой циклоиды и осью .

Замечание. Циклоида - плоская кривая, которую описывает точка М окружности радиуса a , катящаяся без скольжения по прямой линии (рис. 13).

Решение. Искомая площадь

; .

П р и м е р 17. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями , y = 2 .

Решение. Из условия задачи следует, что y >0 при любом t . Решим

, , .

Но по условию . При k = 0

p ¤ 2 £ t £ 3 p ¤ 2 Þ , .

При x не будет принадлежать интервалу . Фактически нужно вычислить площадь фигуры, заключенной между прямой y = 2 и частью циклоиды, расположенной выше этой прямой (рис. 14).

.

2. Вычисление площади криволинейного сектора. Пусть кривая AB зада-на в полярных координатах уравнением , , причем - непрерывная и неотрицательная на отрезке функция. Фигуру, ограниченную кривой AB и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы , будем называть криволинейным сектором.

Площадь криволинейного сектора может быть вычислена по формуле

. (27)

П р и м е р 18. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой (4-лепестковая роза - рис. 16).

Решение. Меняя непрерывно j от 0 до , можно построить первый лепесток. Составим таблицу значений функций (табл. 3).

Вычислим площадь одного лепестка по формуле (27)

.

Следовательно, площадь всех лепестков

.

П р и м е р 19. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями , (рис. 17).

Решение. При изменении от 0 до полярный радиус опишет кривую, изображенную на (рис. 17), при . Уравнение есть уравнение окружности с центром в точке 0 радиуса 2. Найдем, при каких линии пересекаются. Для этого решим систему

;

; ; .

И тогда искомая площадь

;

.

3. Вычисление длины дуги плоской кривой

3.1 Если функция y = f ( x ) непрерывна вместе с её производной f '( x ) на отрезке [ a , b ], то длина дуги AB , где A ( a , f ( a )), B ( b , f ( b )), выражается формулой

. (28)

3.2. Если кривая задана параметрическими уравнениями , где x ( t ), y ( t ) - дифференцируемые функции, то длина дуги

. (29)

3.3. Если дуга задана в полярных координатах , , то длина дуги

. (30)

П р и м е р 20. Вычислить длины дуг плоских кривых:

а) ; б) ;

в) , .

Решение. а) Воспользуемся формулой (10). Так как

,

.

б) Воспользуемся формулой (11). Так как , то .

в) .

4. Вычисление объемов. Нахождение объемов некоторых тел можно свести к вычислению определенных интегралов.

4.1. Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений. Если известны площади сечений тела плоскостями, перпендикулярными оси OX , т. е., зная х, мы можем вычислить площадь сечения S = S ( x ). Тогда объем тела в предположении, что S ( x ) - интегрируемая функция.

4.2. Вычисление объема тела вращения:

а) если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f ( x ), осью OX и двумя прямыми x = a и x = b ( a < b ) вокруг оси OX , то объем тела ;

б) а если тело образовано вращением фигуры, ограниченной кривой , прямыми y = c , y = d ( c < d ) и осью OY , вокруг оси OY , то его объем ;

в) если тело образовано вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линией y = f ( x ), прямыми x = a , x = b и осью OX , то его объем можно вычислить по формуле ;

г) если вращается вокруг полярной оси криволинейный сектор, ограниченный дугой , двумя полярными радиусами и , то объем полученного тела может быть вычислен по формуле .

П р и м е р 21. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций и вокруг оси OX .

Решение. н айдем точки пересечения параболы и прямой . Решим систему:

Þ Þ

Получим две точки пересечения:

Сделаем чертеж (рис. 19).

.

П р и м е р 22. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

; z = 0; z = 3.

Решение. - однополостной гиперболоид. При пересечении его плоскостями z = h в сечении получаем эллип-сы (рис. 20) с полуосями , . Как известно, площадь эллипса

куб. ед.

5. Вычисление площади поверхности вращения

5.1. Поверхность, образованная вращением кривой , a < x < b вокруг оси OX , имеет площадь

.

5.2. Если кривая задана параметрическими уравнениями

,

причем , то

.

5.3. Если дуга , , задана в полярной системе координат кривой, и вращается вокруг полярной оси, то площадь поверхности вращения можно вычислить по формуле

.

П р и м е р 23. Найти площадь поверхности шарового пояса, образованного вращением части окружности x 2 + y 2 = R 2 вокруг оси OX (рис. 21).

Решение. Из уравнения окружности имеем . Вращаем вокруг оси ОХ дугу верхней части.

Найдем и Тогда по соответствующей формуле площадь шарового пояса

Физические приложения определенного интеграла

Вычисление работы с помощью определённого интеграла.

Пусть под действием некоторой силы материальная точка М движется по прямой в направлении оси . Требуется найти работу, произведённую силой при перемещении точки М из положения в положение .

1) Если сила постоянна , то работа выражается следующим образом .

2) Если сила переменная величина, то .

Два электрических заряда и находятся на оси соответственно в точках и . Какая работа будет произведена, если второй заряд переместится в точку ? (Сила взаимодействия зарядов ).

= = = =

= .

Координаты центра тяжести .

Центром тяжести совокупности материальных точек называется центр параллельных сил тяжести, приложенных в этих точках.

Для материальной дуги АВ плоской кривой прямоугольные координаты центра тяжести определяются формулами :

, .

Для материальной однородной криволинейной трапеции, прилежащей к оси и имеющей верхнюю границу , центр тяжести имеет координаты

где площадь криволинейной трапеции.

Центр тяжести произвольной плоской, ограниченной графиком функции

сверху и снизу, определяется формулами

Найти координаты центра тяжести однородного полукруга , расположенного над осью .

Так как полукруг расположен над осью , то верхняя граница задаётся уравнением В силу симметрии фигуры относительно оси ординат, абсцисса центра тяжести равна нулю. Найдём ординату :



Понятие об определенном интеграле