§9 Экстремум функции двух переменных

Определение 1.11 Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y)D. ТочкаM0(x0;y0)- внутренняя точка областиD.

А если же для всех точек

Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y). На рис. 1.4 поясняется геометрический смысл локального максимума:M0- точка максимума, так как на поверхностиz =z (x,y)соответствующая ей точкаC0находится выше любой соседней точкиC(в этом локальность максимума).

Заметим, что на поверхности в целом есть точки (например, В), которые находятся вышеC0, но эти точки (например,В) не являются "соседними" с точкойC0.

В частности, точке Всоответствует понятие глобального максимума:

Аналогично определяется и глобальный минимум:

Нахождение глобальных максимумов и минимумов будет рассмотрено в п.1.10.

Теорема 1.3 (необходимые условия экстремума).

Пусть задана функция z =z (x,y), (x,y)D. ТочкаM0(x0;y0D- точка локального экстремума.

Геометрическое доказательство "очевидно". Если в точке C0на (рис.1.4) провести касательную плоскость, то она "естественно" пройдет горизонтально, т. е. под угломк осиОхи к осиОу.

Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных (рис.1.3):

что и требовалось доказать.

Если в точке M0выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функцииz (x,y).

Теорема 1.4 (достаточные условия экстремума).

Пусть задана z =z (x,y), (x,y)D, которая имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестности точкиM0(x0,y0)D. ПричемM0- стационарная точка (т. е. необходимые условия (1.41) выполнены). Вычислим:

Доказательство теоремы использует темы (формула Тейлора функции нескольких переменных и теория квадратичных форм), которые в этом пособии не рассматриваются.

Исследовать на экстремум:

1. Найдём стационарные точки, решая систему (1.41):

то есть найдены четыре стационарные точки. 2.

по теореме 1.4 в точке – минимум. Причём

по теореме 1.4 в точке

§10 Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области

Теорема 1.5 Пусть в замкнутой области Dзадана функция z=z(x,y), имеющая непрерывные частные производные первого порядка. ГраницаГобластиDявляется кусочно гладкой (т. е. состоит из кусков "гладких на ощупь" кривых или прямых). Тогда в областиDфункцияz(x,y)достигает своего наибольшегоMи наименьшегоmзначений.

Можно предложить следующий план нахожденияMиm. 1. Строим чертёж, выделяем все части границы областиDи находим все "угловые" точки границы. 2. Находим стационарные точки внутриD. 3. Находим стационарные точки на каждой из границ. 4. Вычисляем во всех стационарных и угловых точках, а затем выбираем наибольшееMи наименьшееmзначения.

Пример 1.14 Найти наибольшее Mи наименьшееmзначения функцииz = 4x2-2xy+y2-8xв замкнутой областиD, ограниченной:x = 0, y = 0, 4x+3y=12.

2. Найдём стационарные точки внутри области D:

4. Вычисляем шесть значений:

Из полученных шести значений выбираем наибольшее и наименьшее.

Для продолжения скачивания необходимо собрать картинку:



Производные неявной, параметрической функций
Прямая и плоскость в пространстве