Найти экстремали функционала

Пример 2.1. Рассмотрим пример, который легко решить аналитически. Требуется найти экстремум функционала

при граничных условиях

Вычислим полную производную по x от Fy':

Составляем дифференциальное уравнение Эйлера вида (2.9):

или, после упрощений

Его общее решение имеет вид

Для нахождения произвольных постоянных C1 и C2 подставим решение (2.16) в граничные условия (2.11):

Видно, что система (2.17) имеет единственное решение. Решая эту систему, найдём значения C1 и C2:

и тогда уравнение экстремали имеет вид:

Действительно ли на этой кривой достигается экстремум? И если да, то какой: минимум или максимум? Далее, в главе 13, мы рассмотрим достаточные условия экстремума . В частности, мы выведем условие Лежандра: если на экстремали выполняется условие Fy'y'>0, а на функциях, близких к экстремали, для произвольных y' имеет место Fy'y'≥0, то достигается сильный минимум. В нашем случае это выполняется:

и, следовательно, на нашей экстремали достигается сильный минимум. Проверим этот результат: вычислим J(y) на нескольких функциях вида yk = x k . Эти функции удовлетворяют граничным условиям (2.11) и, следовательно, являются допустимыми. Для вычислений применим MATLAB.

Действительно, полученный результат не противоречит выводу о том, что на функции y(x) = x 3 достигается минимум. Но, конечно же, проведенная проверка не доказывает этот факт. Ведь мы проверили только несколько из бесконечного числа функций, графики которых проходят через точки M1(0,0) и M2(1,1)! Доказательством могут служить необходимые и достаточные условия экстремума функционала.

Пример 2.2. Найти экстремаль функционала

при граничных условиях

Выводим уравнение Эйлера вида (2.9). Частные производные:

Уравнение Эйлера после упрощений имеет вид:

Его общее решение

Находим произвольные постоянные из граничных условий (3.22). Подставляем решение (3.25) в эти граничные условия:

Мы видим, что из полученной системы уравнений можно найти только C1 = 1, а C2 может быть произвольной. Поэтому данная вариационная задача имеет бесчисленное множество решений вида

На любой из этих функций функционал J(y) принимает постоянное значение (какое − мы сейчас посчитаем). Проверка по достаточному условию Лежандра даёт:

поэтому на экстремалях (3.27) достигается сильный минимум.

Посчитаем значение функционала (2.21) на функциях вида (2.27) и нарисуем несколько экстремалей с помощью MATLAB.

На каждой из наших функций функционал равен нулю.

2.2. Частные случаи уравнений Эйлера

Иногда решение уравнения Эйлера существенно упрощается. Рассмотрим соответствующие частные случаи.

2.2.1. Подынтегральная функция F не зависит явно от y'

Материал этого подраздела изложен в книге.

2.2.2. Подынтегральная функция F линейно зависит от y'

Материал этого подраздела изложен в книге.

2.2.3. Подынтегральная функция F не зависит явно от y

Материал этого подраздела изложен в книге.

2.2.4. Подынтегральная функция F зависит только от y'

Материал этого подраздела изложен в книге.

2.2.5. Подынтегральная функция F не зависит явно от x

Материал этого подраздела изложен в книге.

2.3. Вопросы для самопроверки

  1. Какую вариационную задачу мы решаем?
  2. Как выводится дифференциальное уравнение Эйлера?
  3. Где используется в выводе дифференциального уравнения Эйлера основная лемма вариационного исчисления?
  4. Почему обращается в нуль внеинтегральное слагаемое в формуле (2.8) при интегрировании по частям?
  5. Чем отличается частная производная от полной?
  6. Какие Вы знаете методы решения дифференциальных уравнений 2-го порядка?
  7. Всегда ли решение вариационной задачи будет единственным? От чего это зависит?
  8. Какие частные случаи уравнения Эйлера Вы знаете?
  9. В каких случаях уравнение Эйлера перестаёт быть дифференциальным и становится конечным?
  10. В каких случаях вариационная задача теряет смысл?
  11. Как записывается 1-й интеграл уравнения Эйлера, если подынтегральная функция F не зависит явно от y?
  12. Каким будет решение уравнения Эйлера, если подынтегральная функция F зависит только от y'?
  13. Как решается уравнение Эйлера, если подынтегральная функция F не зависит явно от y'?
  14. Как решается задача о брахистохроне?

2.4. Примеры выполнения заданий

2.4.1. Задание 1

Найти экстремаль функционала

Исследовать полученную экстремаль на достаточные условия экстремума. Вычислить значение функционала на найденной экстремали и, для сравнения, на прямой, соединяющей точки M1(x1,y1) и M2(x2,y2). Построить график решения.

В этом примере подынтегральная функция F(x,y,y') является функцией общего вида, поэтому составим уравнение Эйлера в виде (2.9) и решим его. Затем построим график решения. Попутно исследуем на выполнение достаточных условий экстремума и вычислим значение функционала на экстремали и отрезке прямой M1M2. Применим для решения задачи MATLAB.

Очистим память. Напечатаем заголовок решаемой задачи. Если хотите, задайте другую строку для вывода (например, свою фамилию). Опишем символические переменные [58]. Для решения уравнения Эйлера используем принятые в MATLAB обозначения производных: Dy для y' и D2y для y''. Аргумент обозначим x , а функцию − y .

Вводим подынтегральную функцию и граничные условия. Печатаем их. Здесь вы должны поставить свои исходные данные: подынтегральную функцию F и граничные условия x1, y1, x2, y2.

Начинаем вывод дифференциального уравнения Эйлера (2.9). Найдём частные производные Fy и Fy'. Напечатаем их.

В уравнение Эйлера (2.9) входит полная производная dFy'/dx. Вычислим её по обычной формуле дифференцирования сложной функции:

Напечатаем её. Напечатаем также величину Fy'y', необходимую для проверки достаточных условий экстремума по признаку Лежандра.

Составим левую часть дифференциального уравнения Эйлера (2.9) и упростим её. Преобразуем символическую переменную Euler в строку.

Мы составили уравнение Эйлера, теперь решим его. Команда dsolve позволяет находить как общее решение дифференциального уравнения, так и частное его решение, удовлетворяющее заданным начальным или граничным условиям. В следующих главах при решении других заданий нам нужно будет иметь общее решение уравнения Эйлера. Найдём его.

Сформируем теперь уравнения для граничных условий. Подставим в найденное аналитическое решение Sol граничные точки x1 и x2 , и приравняем их соответственно y1 и y2 .

Решаем полученную систему конечных уравнений − находим значения произвольных постоянных C1 и C2 . Присваиваем найденные решения символическим константам, полученным при решении дифференциального уравнения. Теперь вычисляем аналитическое решение Sol21 . Такое вычисление сводится к тому, что в него будут подставлены найденные значения констант C1 и C2 . Печатаем найденное уравнение экстремали.

Вычислим значения функционала (2.86) на найденной экстремали и на прямой, соединяющей точки M1 и M2. Подставим в подынтегральную функцию F аналитические выражения для этих линий и их производных, а затем проинтегрируем. Напечатаем результаты.

В данном примере условие Лежандра говорит о сильном минимуме, что подтверждается полученным результатом: значение функционала на экстремали меньше, чем на другой допустимой функции. А как в вашем варианте: какой экстремум достигается? И подтверждается ли этот результат сравнением величин Jextr и Jlin ? Если нет, то не забудьте, что найденный экстремум − только локальный, а не глобальный! Попробуйте вычислить значение функционала не на прямой M1M2, а на какой-нибудь другой допустимой кривой, достаточно близкой к экстремали. Например, можно наложить на экстремаль несколько полуволн синусоиды, смещённой и деформированной вдоль оси Ox так, что [0,π] ⇒ [x1,x2].

И, наконец, строим график. Задаём массив аргументов для рисования графика функции и вычисляем значения функции. Рисуем график, подписываем заголовок и координатные оси установленным шрифтом.

2.4.2. Задание 2

Найти экстремаль функционала

Исследовать на выполнение достаточных условий экстремума. Построить график решения.

В этом примере подынтегральная функция F(x,y,y') не зависит явно от y. Первый интеграл уравнения Эйлера имеет вид (2.43). Составим программу для решения этой вариационной задачи. Вначале введём исходные данные. У нас будет первый интеграл уравнения Эйлера, поэтому ни сама функция y, ни её вторая производная y'' нам не нужны, и мы их не описываем. Поставьте свою подынтегральную функцию и граничные условия.

Строим первый интеграл и решаем полученное дифференциальное уравнение. Названия констант C1 и C2 используются в команде dsolve , поэтому при составлении 1-го интеграла уравнения Эйлера обозначим константу C . Все использованные здесь функции и операторы MATLAB были описаны ранее, в примере 1.

В переменной Sol получено общее решение, произвольные постоянные обозначены C и C1 . Найдём их. Для этого подставим в Sol граничные точки. Приравняем полученные выражения соответственно y1 и y2 . Тем самым мы сформируем систему уравнений.

Решим полученную систему − найдём произвольные постоянные C и C1 . Подставим их в решение Sol . Ограничим решение 14 знаками. Напечатаем уравнение найденной экстремали.

Дальнейшие действия не отличаются от описанных в примере 1. Рисуем график и и вычисляем Fy'y', которая нужна для проверки достаточных условий экстремума по признаку Лежандра.

Проанализируйте достаточное условие Лежандра. Достигается ли экстремум на вашей экстремали? Если да, то какой?

2.4.3. Задание 3

Решить задачу о брахистохроне, соединяющей точки M1(0,0) и M2(2,1).

Мы уже решили эту задачу аналитически. Нам осталось найти значение константы C1 и параметра в конечной точке t2 из решения системы уравнений (2.84). Составим программу для решения этого примера. Вначале введём исходные данные задачи. Подставьте свою правую точку.

Составляем систему уравнений (2.84). Левую часть каждого уравнения мы задаём сразу в виде строки. В правой части переводим числа x2 и y2 в их строковые представления с помощью функции num2str . Ранее мы использовали конструкцию char(sym(y2)) . Оба варианта работают правильно − вы можете это проверить. Решаем полученную систему уравнений аналитически. Печатаем решения.

Рисуем график полученной брахистохроны. Выбираем начало координат в левом верхнем углу с помощью команды axis . Задаём границы по оси Ox, чтобы график занимал всё место на рисунке. Выравниваем масштабы по осям координат, чтобы брахистохрона выглядела неискажённой. Надписываем заголовок и метки осей.

2.5. Задание

Для своего варианта функционалов 1, 2, 3 найти экстремали, построить их графики и исследовать на выполнение достаточных условий экстремума.



Обратные тригонометрические функции
Невырожденные матрицы