Найти grad(divF)

Многомерные дифференциальные уравнения и преобразования полей

Сначала - векторные дифференциальные операторы:

  • grad (градиент) - направление и величина наибыстрейшего возрастания функции
  • div (дивергенция)- поток вектора через очень маленькую оболочку, разделенный на ее обьем (например, поток вектора скорсти жидкости имеет ясный физический смысл)
  • rot (ротор) - циркуляция вектора по очень маленькому контуру, разделенная на его площадь
Некоторые свойства этих операторов:
  • div(fA) = f*div(A) + A*grad(f)
  • rot(fA) = f*rot(A) - [grad(f),A]
  • div([A,B]) = B*rot(A) - A*rot(B)
  • rot(grad(f)) = 0
  • div(rot(A)) = 0
  • grad(a*b) = a*grad(b) + b*grad(a)

Уравнения Лапласа и Д'Aламбера

Наиболее распространено уравнение Лапласа (или уравнеие Пуассона как более общий тип уравнений). Это уравнения таких полей:

  • электростатического поля
  • стационарного поля температуры
  • поля давления
  • поле "потенциала скорости" в гидродинамике
  • и многих других, где div(grad(f))=g(x,y,z)
Уравнение Лапласа:

Уравнение Пуассона:

Уравнение Д'Aламбера:

Когда поле аппроксимируется матрицей (например, Aij), уравнения Лапласа и Пуассона имют такой вид:

где Cij - матрица плотности (Для уравнения Лапласа Cij =0). В таком приближении уравнение решается последовательным нахождением новых значений для элементов матрицы как:

Точность решения растет с увеличением числа итераций.

Уравнение Д'Aламбера - уравнение для бегущих волн, очень похожее на уравнение Лапласа, и его можно решать как уравнение Лапласа в комплексном пространстве Минковского или аппроксимируя среду набором дискретных элементов, движущихся согласно законам Ньютона.

Пример решения уравнения Лапласа Laplas.pas и моделирования волн на упругой поверхности (уравнение Д'Aламбера) Waves.pas.

От матриц и векторов к многомерным функциям,

от разложения по базису к разложению Фурье

Все методы матричной алгебры элементарно обобщаются на функции.

"Скалярное умножение" функций:

"Умножение вектора на матрицу":

Базисная функция ортогональна если

Как видно, разложение Фурье - только преобразование функции как "вектора" к другому базису. Сейчас разложение Фурье почти очевидно:

Можно доказать, что "базисная функция" f(w,t) = e iwt ортогональна.

Случайные (стохастические) колебания

Случайные колебания, получаемые при помощи функции Random в Delphi - так называемый "белый шум" с равномерным спектром. Наиболее распространенная модель для случайных колебаний с неравномерным спектром - модель Лоренца. В ее основе - поведение жидкости в кольцевой трубе, подогреваемой снизу и охлаждаемой сверху. Модель задается такой системой дифференциальных уравнений:

Я использовал параметры a=10 b=30 c=2.667. Еще одна модель для стохастических колебаний - ламповый генератор с нелинейным элементом (тоннельный диод, например). Она задается такой системой дифференциальных уравнений (для генератора принята модель Ван-Дер-Поля):

где f(x) - вольт-амперная характеристика диода.

Наличие "ямы" обязательно для возбуждения стохастических колебаний.

Пример на модель Лоренца Random.pas

Разложение Фурье

Разложение Фурье задается такими преобразованиями (см p. 2). На практике эти преобразования имеют такой вид:

Они могут быть использованы, например, для сжатия звуковых файлов.

Звукообработка

Простая демонстрационная программа была написана для иллюстрации всего вышесказанного. Из-за ограниченности возможностей программы можно работать только с моно ".wav" файлами, также нельзя использовать заглавные буквы в Formulae Generator и прописные в Rhythm Composer. В Formulae Generator используются такие функции (Generator 1):

  • sin(t),cos(t) - гармонические функции
  • rcn(t) - прямоугольный сигнал с периодом 1
  • ran(t) - треугольный сигнал с периодом 1
  • sqr(t) - квадратный корень (если t<0,sqr(t)=0)
  • rand(x) - случайный сигнал уровня x
  • amp(t) - амплитуда в момент времени t
  • exp(t), ln(t) - логарифмическая и экспоненциальная функции
Модуль Wave содержит процедуры чтения и записи звуковых файлов, модуль Calculator - компилятор формул, функции построения графиков, а также Эхо, Фильтры, Динамическое Сжатие и многое другое - в модуле Generator.

©2002-2003, Veter English Беларуская Русский



Функции трех и большего числа переменных
Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать