Решение задач

§14. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия.

Закон распределения случайной величины полностью её определяет. Однако, часто важно знать основные параметры, характеризующие закон распределения в целом. Среди этих параметров наиболее важными являются математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

1. Математическим ожиданием случайной величины называется сумма / или интеграл для непрерывной величины / произведений её значений на соответствующие вероятности.

а/. Математическое ожидание дискретной случайной величины равно:

б/. Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно:

Замечание. Смысл математического ожидания состоит в том,что при большом числе испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины близко к её математическому ожиданию.

2. Свойства математического ожидания

а/. Математическое ожидание постоянной величины равно:

б /. Выполняется равенство:

в/. Математическое ожидание суммы двух независимых случайных величин x и y равно:

Определение. Случайные величины X и называются независимыми, если закон распределения каждой из них не меняется, когда становится известно , что другая приняла какое-либо значение.

г/ Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин \(x\) и \(y\) равно:

Пример I. Проводится беспроигрышная лотерея на 200 выигрышей, из которых I выигрыш составляет IOO руб., 5'выигрышей по 20 руб., 10 выигрышей по 5 руб., и 184 выигрыша по 2 руб. Определить цену одного билета так, чтобы сумма выплаченных выигрышей равнялась сумме, вырученной за продажу билетов.

Решение. Составим таблицу распределения случайной величины /закон распределения/ \(x\)- сумма выигрыша:

Математическое ожидание данной случайной величины равно искомой цене билета:

\begin M(x)=\sum\limits_^n x_p_=2(184/200)+5(10/200)+20(5/200)+100(1/200)=3,09=3 \end

Пример 2. Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины x :

р(x) = 0,5· sinx , 0≤x≤π

Найти математическое ожидание.

Решение. I. Сначала проверим, что для данной плотности вероятности выполняется необходимое условие:

2. Математическое ожидание равно:

\begin M(x)=\int\limits_<-∞>^<∞>xp(x)\,dx=0,5\int\limits_<0>^<π>xsin(x)\,dx=-0,5\int\limits_<0>^<π>x\,dcos(x)= \end

\begin =-0,5xcos(x)+0,5\int\limits_<0>^<π>x\,dcos(x) =0,5(π+sin(π)-sin(0))=π/2 ; \end

Полученный результат иллюстрируется на рис .14.1

Математическое ожидание равно среднему значению случайной величины на отрезке \([0,π]\)

2. Дисперсия случайной величины.

Возможны ситуации, когда математические ожидания двух случайных величин совпадают, а рассеяние значений случайной-величины относительно математического ожидания существенно различаются /см.рис 14.2/

Возникает необходимость введения дисперсии.

Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

Если обозначить математическое ожидание случайной величины как , то формула для вычисления дисперсии имеет вид:

a/для дискретной случайной величины

б/ для непрерывной случайной величины

где \(a\)- произвольное число.

Если \(a =0\), то из последнего равенства прлучаем, что дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом математического ожидания:

б/ Дисперсия суммы независимых случайных величин x и y равна сумме их дисперсий:

4. Среднеквадратическим отклонением случайной величины называется величина

Пример 3.Случайная величина X задана следующим законом распределения

Определить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение.

Пример 4. Найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины, плотность распределения вероятностей которой дана.

Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины x :

р(x) = 0,5· sinx , 0≤x≤π

2) Воспользуемся формулой

Получим / два раза интегрируем по частям /:

Пример 5. Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины \(x\) распределенной по биноминальному закону.

Решение. Вероятность появления m раз события в серии из m независимых испытаний, если вероятность появлений его в отдельном испытании равна р , определяется формулой Бернулли

Доказывается, что математическое ожидание такого распределения

Популярные репетиторы:

Крупный математик для студентов и школьников, кандидат физмат. наук, докторант, педагогический стаж более 15 лет, по-шустрому подготовит без посредников контрольной работе по математике на 2 курс с помощью секретных технологий по формированию памяти и ускорению мышления. Пишет на заказ рефераты.

Впечатляюще потрудился по науке в интернет-компании по Big Data и Машинному обучению. Консультации по математическим пакетам MathCad, MathLab и Maple . Без усилий "кодит" на R, GO и Java. Участвует в мировых академических конференциях CIKM, KDD и NIPS .

Опыт преподавателя по высшей математике для абитуриентов более 20 лет. Занятия ведутся по Viber и локально в Москве м. Китай-город. Более 320 учащихся поступили «на бюджет» в ВУЗы Москвы: МГТУ, МГУ, МЭИ и МАИ и т.д.. 彼は日本語を話します.



Равномерное распределение