Лекция № 6

7.2. Свойства векторного произведения

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а х b =( b х a ) (см. рис. 19).

Векторы а х b и b х а коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а , b , а х b и a , b , b x a противоположной ориентации). Стало быть a x b = -( b x a ).

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. l ( а х b ) = ( l а ) х b = а х ( l b ).

Пусть l >0. Вектор l ( а х b ) перпендикулярен векторам а и b . Вектор ( l а )х b также перпендикулярен векторам а и b (векторы а , l а лежат в одной плоскости). Значит, векторы l ( а х b ) и ( l а )х b коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:

Поэтому l ( a х b )= l а х b . Аналогично доказывается при l <0.

3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а || b <=> а х b = 0 .

В частности, i * i = j * j = k * k = 0 .

4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

Примем без доказательства.

7.3. Выражение векторного произведения через координаты

Мы будем использовать таблицу векторного произведения векторов i , j и k :

если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает — третий вектор берется со знаком «минус».

Пусть заданы два вектора а =ах i + ay j + az k и b = bx i + by j + bz k . Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения):

Полученную формулу можно записать еще короче:

так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки.Равенство (7.2) легко запоминается.

7.4. Некоторые приложения векторного произведения

Установление коллинеарности векторов

Нахождение площади параллелограмма и треугольника

Согласно определению векторного произведения векторов а и b | а х b | = | а | * | b | sin g , т. е. S пар = | а х b |. И, значит, D S =1/2| а х b |.

Определение момента силы относительно точки

Пусть в точке А приложена сила F = АВ и пусть О — некоторая точка пространства (см. рис. 20).

Из физики известно, что моментом си лы F относительно точки О называется вектор М , который проходит через точку О и:

1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;

2) численно равен произведению силы на плечо

3) образует правую тройку с векторами ОА и A В .

Стало быть, М = ОА х F .

Нахождение линейной скорости вращения

Скорость v точки М твердого тела, вращающегося с угловой скоростью w вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера v = w х r , где r = ОМ , где О—некоторая неподвижная точка оси (см. рис. 21).

8. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

8.1. Определения смешанного произведения, его геометрический смысл

Рассмотрим произведение векторов а , b и с , составленное следующим образом: ( а х b )• с . Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторноскалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.

Выясним геометрический смысл выражения ( а х b )* с . Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы а , b , с и вектор d = а х b (см. рис. 22).

Имеем: ( а х b ) • с = d • с = | d | • пр d с , | d |=| а х b | = S , где S — площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b , пр d с = Н Для правой тройки векторов и пр d с = - Н для левой, где Н— высота параллелепипе­да. Получаем: ( a x b )* c = S *(± H ), т. е. ( a x b )* c =± V , где V — объем параллелепипеда, образованного векторами а , b и с .

Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.

8.2. Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. ( а х b )• с =( b х с )• а =( с х а )• b .

Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер

2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков вкторного и скалярного умножения, т. е. ( а х b )• с = а *( b x с ).

Действительно, ( а х b )• с =± V и а •( b х с )=( b х с )• а =± V . Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов а , b , с и b , с , а — одной ориентации.

Следовательно, ( a х b )• с = a ( b х с ). Это позволяет записывать смешанное произведение векторов ( а х b ) с в виде abc без знаков векторного, скалярного умножения.

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых вух векторов-сомножителей, т. е. abc =- acb , abc =- bac , abc =- cba .

Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак.

4.Смешанное произведение ненулевых векторов а , b и с равно нулю огда и только тогда, когда они компланарны.

Если abc = 0 , то а , b и с — компланарны.

Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллелепипед с объемом V ¹ 0. Но так как abc =± V , то получили бы, что abc ¹ 0 . Это противоречит условию: abc = 0 .

Обратно, пусть векторы а , b , с — компланарны. Тогда вектор d = а х b будет перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а , b , с , и следовательно, d ^ с . Поэтому d • с = 0 , т. е. abc = 0 .

8.3. Выражение смешанного произведения через координаты

Пусть заданы векторы a =ах i + ay j + az k , b = bx i + by j + bz k , с = cx i + cy j + cz k . Найдем их смешанное произведение, используя выражения в координатах для векторного и скалярного произведений:

Полученную формулу можно записать короче:

так как правая часть равенства (8.1) представляет собой разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки.

Итак, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

8.4. Некоторые приложения смешанного произведения

Определение взаимной ориентации векторов в пространстве

Определение взаимной ориентации векторов а, b и с основано на следующих соображениях. Если abc > 0 , то а , b , с — правая тройка; если abc < 0 , то а , b , с - левая тройка.

Установление компланарности векторов

Векторы а , b и с компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю

Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды

Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах а , b и с вычисляется как V =| аbс |, а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен V =1/6*| abc |.



Конические поверхности


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать