ТЕМА II. Криволинейные и поверхностные интегралы;

Приложения тройных интегралов

Приложения тройных интегралов аналогичны приложениям двойных интегралов, но только для трехмерных тел.

Если использовать одно из свойств тройного интеграла (о его значении от функции, тождественно равной единице), то получается формула для вычисления объема любого пространственного тела:

Объем пространственного тела

Пример 5 (вычисление объема с помощью тройного интеграла)

Найти объем тела, ограниченного поверхностями x 2 + y 2 + z 2 = 4 и x 2 + y 2 = 3z.

Записываем формулу для объема через тройной интеграл и вычисляем тройной интеграл в цилиндрических координатах:

Ответ: (единиц объема).

Формула для вычисления массы трехмерного объекта, занимающего объем V, имеет вид:

(13)

Здесь - это объемная плотность распределения массы.

Пример 6 (вычисление массы трехмерного тела)

Найти массу шара радиуса R, если плотность пропорциональна кубу расстояния от центра и на единице расстояния равна k.

V: элементарный объем и .

Заметим, что здесь при вычислении трехкратного интеграла получилось произведение интегралов, так как внутренние интегралы оказались не зависящими от переменных внешних интегралов.

Ответ: (единиц массы).

Механические характеристики для объема V (статические моменты, моменты инерции, координаты центра масс) вычисляются по формулам, которые

составляются по аналогии с формулами для двумерных тел.

Элементарные статические моменты и моменты инерции относительно координатных осей:

элементарные моменты инерции относительно координатных плоскостей и точки начала координат:

Далее, чтобы вычислить механическую характеристику всего объёма V,нужно просуммировать элементарные слагаемые этой характеристики по всем частям разбиения (так как вычисляемая характеристика обладает свойством аддитивности), а затем перейти к пределу в получившейся сумме при условии, что неограниченно уменьшаются (стягиваются в точки) все элементарные части разбиения. Эти действия описываются как интегрирование элементарного слагаемого вычисляемой механической характеристики по объёму V.

В результате получаются следующие формулы для вычисления статических моментов М и моментов инерции I трехмерных тел:

Формулы для координат центра масс трехмерного тела:

На практике полезно эти формулы не только использовать как готовые, но и выводить их в решаемой задаче.

Примеры 7 (вычисление механических характеристик трехмерных тел)

Найти момент инерции однородного цилиндра, высота которого h и радиус основания R, относительно оси, совпадающей с диаметром основания.

Найдём расстояние d для произвольной точки цилиндра:

расстояние от точки с координатами до оси это есть длина перпендикуляра, проведенного от этой точки к оси . Построим плоскость перпендикулярную оси так, что точка принадлежит этой плоскости. Тогда любая прямая, пересекающая ось и принадлежащая этой плоскости, будет перпендикулярна . В частности, прямая, соединяющая точку и точку , будет перпендикулярна оси , а расстояние между этими точками и будет искомым расстоянием d. Вычисляем его по известной формуле расстояния между двумя точками:

Теперь составляем бесконечно малый элемент искомого момента инерции относительно оси :

,

в данной задаче , так как цилиндр является однородным по условию.

Интегрированием элементарного слагаемого по объему цилиндра V получаем искомую механическую характеристику этого объема:

.

Вычисляем составленный тройной интеграл в цилиндрических координатах:

Ответ: (единиц момента инерции).

2. Определить координаты центра масс верхней половины шара радиуса R с центром в начале координат, считая плотность его материала постоянной.

Выносим в обоих тройных интегралах постоянную плотность и переводим их в сферические координаты, заменяя и . В результате вычисления тройного интеграла получаем, что

Ответ: .

§5. Криволинейные интегралы I рода: определение, основные свойства, вычисление, некоторые приложения

5.1. Определение криволинейного интеграла I рода. 42

5.2. Основные свойства криволинейного интеграла I рода. 44

5.3. Вычисление криволинейного интеграла I рода (Как вычисляется криволинейный интеграл I рода) 44

5.4. Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода. 47



Угол между плоскостями
Понятие о натуральных логарифмах


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать