Экстремумы функции.

Необходимые условия экстремума.

Понятие локального экстремума было рассмотрено в этой статье. Необходимые условия экстремума легко получить из теоремы Ферма. Согласно этой теореме точки локального экстремума функции \(f(x)\) следует искать среди тех точек области ее определения, в которых производная этой функции либо равна нулю, либо не существует.

В дальнейшем будем часто опускать слово "локальный" при формулировке утверждений, связанных с понятием локального экстремума.

Точки, в которых производная данной функции равна нулю, называют стационарными точками этой функции, а точки, в которых функция непрерывна, а ее производная либо равна нулю либо не существует, — ее критическими точками. Поэтому все точки экстремума функции содержатся среди ее критических точек.

Точка \(x=0\) является критической точкой для каждой из функций \(y=x^2,\;y=x^<3>,\;y=|x|,\;y=|x|^<1/2>,\;у=\sqrt[3]\), причем для функций \(у=x^2,\;y=|x|,\;у=|x|^<1/2>\) точка \(x=0\) — точка экстремума, а для функций \(у=x^3,\;у=x^<1/3>\) эта точка не является точкой экстремума.

Таким образом, не всякая критическая точка является точкой экстремума функции.

Достаточные условия экстремума.

Введем понятие строгого экстремума. Назовем \(x_0\) точкой строгого максимума функции \(f(x)\), если

\exists\delta>0:\;\forall x\in\dot_<\delta>(x_0)\rightarrow f(x)\;<\;f(x_0).\label

Аналогично, \(x_0\) называют точкой строгого минимума функции \(f(x)\), если

\exists\delta>0:\;\forall x\in\dot_<\delta>(x_0)\rightarrow f(x)\;>\;f(x_0).\label

Отметим, что если функция \(f(x)\), определенная в \(\delta\)-окрестности точки \(x_0\), строго возрастает на промежутке \((x_0-\delta,x_0]\) и строго убывает на промежутке \([x_0,x_0+\delta)\), то выполняется условие \eqref, и поэтому \(x_0\) является точкой строгого максимума функции \(f(x)\).

Аналогично формулируется достаточное условие строгого минимума.

Обратимся к достаточным условиям экстремума дифференцируемых функций. Для формулировки первого достаточного условия и в дальнейшем нам потребуется понятие смены знака функции.

Если функция \(g(x)\) определена в проколотой \(\delta\)-окрестности точки \(x_<0>\) и для всех \(х\in (x_0-\delta,x_0)\) выполняется неравенство \(g(x)\;<\;0\),а для всех \(x\in(x_0,x_<0>+\delta)\) — неравенство \(g(x)\;>\;0\), то говорят, что функция \(g(x)\) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку \(x_0\).

Аналогично вводится понятие смены знака с плюса на минус при переходе через точку \(x_0\).

Обратно: если разность \(f(x)-f(x_0)\) сохраняет знак в \(\dot_<\delta>(x_<0>)\), то \(x_<0>\) — точка строгого экстремума функции \(f(x)\).

Если же эта разность меняет знак при переходе через точку \(x_0\), то функция \(f(x)\) не имеет экстремума в точке \(x_<0>\).

Теорема 1 (первое достаточное условие строгого экстремума).

Пусть функция \(f(x)\) дифференцируема в некоторой окрестности точки \(x_0\), кроме, быть может, самой точки \(x_0\) и непрерывна в точке \(x_0\). Тогда:

a) если \(f'(x)\) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку \(x_0\), т.е. существует \(\delta\;>\;0\) такое, что

\forall x\in (x_<0>,x_0+\delta)\rightarrow f'(x)\;>\;0,

то \(x_0\) — точка строгого минимума функции \(f\) (рис. 20.2);

Рис. 20.2

6) если \(f'(x)\) меняет знак с плюса на минус при переходе через точку \(x_0\), то \(x_0\) — точка строгого максимума функции \(f\) (рис. 20.3).

Рис. 20.3

\(\circ\) Пусть функция \(f'(x)\) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку \(x_0\), тогда выполняется условие \eqref.

Если \(x\) — произвольная точка интервала \((x_0-\delta,x_0)\), то функция \(f\) дифференцируема на интервале \((x,x_0)\) и непрерывна на отрезке \([x,x_<0>]\). По теореме Лагранжа

\forall x\in(x_0-\delta,x_0)\rightarrow f(x)\;>\;f(x_0).\label

Аналогично, применяя теорему Лагранжа к функции \(f(x)\) на отрезке \([x_0,x]\), где \(x_<0>\;<\;x\); $$

\forall x\in (x,x_0+\delta)\rightarrow f(x)\;>f(x_0).\label

Из условий \eqref) и \eqref следует утверждение \eqref. Это означает, что \(x_<0>\) — точка строгого минимума функции \(f(x)\).

Аналогично рассматривается случай строгого максимума. \(\bullet\)

Теорема 2 (второе достаточное условие строгого экстремума).

Пусть \(x_<0>\) — стационарная точка функции \(f(x)\), т.е.

a) если \(f''(x)\;>\;0\), то \(x_0\) — точка строгого минимума функции \(f(x)\);

6) если \(f''(x)\;<\;0\), то \(x_0\) — точка строгого максимума функции \(f(x)\).

\(\circ\) Если \(f''(x_0)\;>\;0\), то по теореме 4 функция \(f'(x)\) является возрастающей в точке \(x_0\), т.е. существует \(\delta\;>\;0\) такое, что

\forall x\in (х_0-\delta,х_0)\rightarrow f'(x)\;<\;f'(x_0)=0,\nonumber

\forall x\in(х_0,х_0+\delta)\rightarrow f'(x)\;>\;f'(х_0)=0,\nonumber

откуда следует, что \(f'(x)\) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку \(x_0\). Согласно теореме 5 точка \(x_0\) — точка строгого минимума функции \(f(x)\). Аналогично рассматривается случай \(f''(x_<0>)\;<\;0\). \(\bullet\)

Например, если \(f(x)=x^2\), то \(f'(0)=0,\;f''(0)=2\), и поэтому \(x_0=0\) — точка строгого минимума функции \(f(x)=x^2\).

Теорема 3 (третье достаточное условие строгого экстремума).

Пусть существует \(f^<(n)>(x_0)\), где \(п\;>\;2\), и выполняются условия

a) если \(n\) — четное число, то \(x_0\) — точка экстремума функции \(f(x)\), а именно точка строгого максимума в случае \(f^<(n)>(x_0)\;<\;0\) и точка строгого минимума в случае \(f^<(n)>(x_0)\;>\;0\).

6) если \(n\) — нечетное число, то \(x_0\) не является точкой экстремума функции \(f(x)\).

\(\circ\) Используя локальную формулу Тейлора для функции \(f(x)\) в окрестности точки \(x_0\) и условия \eqref, получаем

Из условия \eqref следует, что равенство \eqref можно записать в виде

где \(\alpha(x)=o(1)\rightarrow 0\) при \(х\rightarrow x_0\), так как \(Со((x-x_0)^n)=o((x-x_0)^n)\) при \(C\neq 0\;(C=const)\). Поэтому \(\exists\delta\;>\;0:\;\forall x\in \dot_<\delta>(x_0)\rightarrow \;<\;|\alpha(x)|\;<\;\displaystyle \frac<1><2>\), откуда следует, что

Из равенства \eqref в силу условия \eqref получаем

и из равенства \eqref получаем

Это означает, что \(x_0\) — точка строгого минимума функции \(f(x)\).

т.е. \(x_0\) — точка строгого максимума функции \(f(x)\).

6) Пусть \(n=2k+1\), тогда из формулы \eqref следует, что разность \(f(x)-f(x_0)\) меняет знак при переходе через точку \(x_0\), так как функция \((x-x_0)^<2k+1>\) меняет знак при переходе через точку \(x_0\). Это означает, что \(x_0\) не является точкой экстремума функции \(f(x)\). \(\bullet\)

Найти точки экстремума функции \(f(x)\), если:

\(\triangle\) a) Функция дифференцируема на \(\mathbb\), поэтому все ее точки экстремума содержатся среди стационарных точек функции, являющихся корнями уравнения \(f'(x)=0\),т.е. уравнения

Это уравнение имеет корни \(х_1=-1,\;x_2=\frac<4><5>,\;x_3=2\), причем при переходе через точку \(x_1\) функция \(f'(x)\) не меняет знака, при переходе через точку \(x_2\) она меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку \(x_3\) — с минуса на плюс.

Следовательно, \(x_2\) и \(x_3\) являются соответственно точками строгого максимума и строгого минимума функции \(f(x)\), a \(x_1\) не является точкой экстремума этой функции.

6) Функция непрерывна на \(\mathbb\), дифференцируема на \(\mathbb\), кроме точек \(-2,0,2\), и является четной. Если \(x\geq 0\), то

где \(g(x)=(x^2-4)e^<-x>\). Уравнение \(g'(x)=(-x^2+2x+4)e^<-x>=0\) имеет на промежутке \((0,+\infty)\) единственный корень \(х_1=1+\sqrt<5>\), причем \(g'(x)=f'(x)\) при \(x\;>\;2\) и \(g'(x)\) меняет знак с плюса на минус при переходе через точку \(x_1\). Поэтому \(x_1\) - точка строгого максимума функции \(f(x)\).

При переходе через точку \(x_2=2\) функция \(f'(x)\) меняет знак с минуса на плюс, так как \(f'(x)=-g'(x)\) при \(x\in(0,2)\) и \(f'(x)=g'(x)\) при \(x\;>\;2\). Поэтому \(x_2\) — точка строгого минимума функции \(f(x)\).

Учитывая, что функция \(f(x)\) строго убывает на интервале \((0,2)\) и четная, заключаем отсюда, что \(x=0\) — точка строгого максимума функции \(f(x)\).

Используя полученные результаты и четность функции \(f(x)\), получаем: \(x=-2\) и \(x=2\) — точки строгого минимума функции \(f(x):\;x=-(1+\sqrt<5>),\;x=0\) и \(x=1+\sqrt<5>\) — точки строгого максимума этой функции. \(\blacktriangle\)



Угол между двумя прямыми


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать