Алгоритм вычисления обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений: метод присоединённой (союзной) матрицы.

Матрица $A^<-1>$ называется обратной по отношению к квадратной матрице $A$, если выполнено условие $A^<-1>\cdot A=A\cdot A^<-1>=E$, где $E$ – единичная матрица, порядок которой равен порядку матрицы $A$.

Невырожденная матрица – матрица, определитель которой не равен нулю. Соответственно, вырожденная матрица – та, у которой равен нулю определитель.

Обратная матрица $A^<-1>$ существует тогда и только тогда, когда матрица $A$ – невырожденная. Если обратная матрица $A^<-1>$ существует, то она единственная.

Есть несколько способов нахождения обратной матрицы, и мы рассмотрим два из них. На этой странице будет рассмотрен метод присоединённой матрицы, который полагается стандартным в большинстве курсов высшей математики. Второй способ нахождения обратной матрицы (метод элементарных преобразований), который предполагает использование метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана, рассмотрен во второй части.

Метод присоединённой (союзной) матрицы

Пусть задана матрица $A_$. Для того, чтобы найти обратную матрицу $A^<-1>$, требуется осуществить три шага:

  1. Найти определитель матрицы $A$ и убедиться, что $\Delta A\neq 0$, т.е. что матрица А – невырожденная.
  2. Составить алгебраические дополнения $A_$ каждого элемента матрицы $A$ и записать матрицу $A_^<*>=\left(A_ \right)$ из найденных алгебраических дополнений.
  3. Записать обратную матрицу с учетом формулы $A^<-1>=\frac<1><\Delta A>\cdot >^T$.

Матрицу $>^T$ часто именуют присоединённой (взаимной, союзной) к матрице $A$.

Если решение происходит вручную, то первый способ хорош лишь для матриц сравнительно небольших порядков: второго (пример №2), третьего (пример №3), четвертого (пример №4). Чтобы найти обратную матрицу для матрицы высшего порядка, используются иные методы. Например, метод Гаусса, который рассмотрен во второй части.

Так как все элементы четвёртого столбца равны нулю, то $\Delta A=0$ (т.е. матрица $A$ является вырожденной). Так как $\Delta A=0$, то обратной матрицы к матрице $A$ не существует.

Найти матрицу, обратную к матрице $A=\left(\begin -5 & 7 \\ 9 & 8 \end\right)$.

Используем метод присоединённой матрицы. Сначала найдем определитель заданной матрицы $A$:

Так как $\Delta A \neq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения каждого элемента заданной матрицы:

Составляем матрицу из алгебраических дополнений: $A^<*>=\left( \begin 8 & -9\\ -7 & -5 \end\right)$.

Транспонируем полученную матрицу: $>^T=\left( \begin 8 & -7\\ -9 & -5 \end\right)$ (полученная матрица часто именуется присоединённой или союзной матрицей к матрице $A$). Используя формулу $A^<-1>=\frac<1><\Delta A>\cdot >^T$, имеем:

Итак, обратная матрица найдена: $A^<-1>=\left( \begin -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end\right)$. Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: $A^<-1>\cdot A=E$ или $A\cdot A^<-1>=E$. Проверим выполнение равенства $A^<-1>\cdot A=E$. Дабы поменьше работать с дробями, будем подставлять матрицу $A^<-1>$ не в форме $\left( \begin -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end\right)$, а в виде $-\frac<1><103>\cdot \left( \begin 8 & -7\\ -9 & -5 \end\right)$:

Проверка пройдена успешно, обратная матрица $A^<-1>$ найдена верно.

Найти обратную матрицу для матрицы $A=\left( \begin 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end \right)$.

Начнём с вычисления определителя матрицы $A$. Итак, определитель матрицы $A$ таков:

Так как $\Delta A\neq 0$, то обратная матрица существует, посему продолжим решение. Находим алгебраические дополнения каждого элемента заданной матрицы:

Составляем матрицу из алгебраических дополнений и транспонируем её:

Итак, $A^<-1>=\left( \begin 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end \right)$. Чтобы проверить истинность результата, достаточно проверить истинность одного из равенств: $A^<-1>\cdot A=E$ или $A\cdot A^<-1>=E$. Проверим выполнение равенства $A\cdot A^<-1>=E$. Дабы поменьше работать с дробями, будем подставлять матрицу $A^<-1>$ не в форме $\left( \begin 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end \right)$, а в виде $\frac<1><26>\cdot \left( \begin 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end \right)$:

Проверка пройдена успешно, обратная матрица $A^<-1>$ найдена верно.

Для матрицы четвёртого порядка нахождение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений несколько затруднительно. Однако такие примеры в контрольных работах встречаются.

Чтобы найти обратную матрицу, для начала нужно вычислить определитель матрицы $A$. Лучше всего в данной ситуации это сделать с помощью разложения определителя по строке (столбцу). Выбираем любую строку или столбец и находим алгебраические дополнения каждого элемента избранной строки или столбца.

Например, для первой строки получим:

Определитель матрицы $A$ вычислим по следующей формуле:

$$ \Delta A=a_<11>\cdot A_<11>+a_<12>\cdot A_<12>+a_<13>\cdot A_<13>+a_<14>\cdot A_<14>=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

А далее продолжаем находить алгебраические дополнения:

Матрица из алгебраических дополнений: $A^*=\left(\begin 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36\\ 473 & -250 & -463 & -96\end\right)$.

Следовательно, обратная матрица найдена верно.

Во второй части будет рассмотрен иной способ нахождения обратной матрицы, который предполагает использование преобразований метода Гаусса или метода Гаусса-Жордана.



Точка пересечения прямой с плоскостью
Распределение Пуассона


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать