Обратные тригонометрические функции

Арксинусом числа α называют такое число α из промежутка [-π/2;π/2], синус которого равен α.

Функция у= sin⁡(x) на отрезке [-π/2;π/2], строго возрастает и непрерывна; следовательно, она имеет обратную функцию , строго возрастающую и непрерывную.

Функция , обратная для функции у= sin⁡(x), где х ∈[-π/2;π/2], называется арксинусом и обозначается y=arcsin(x),где х∈[-1;1].

Итак, согласно определению обратной функции , областью определения арксинуса является отрезок [-1;1], а множеством значений - отрезок [-π/2;π/2].

Отметим , что график функцииy=arcsin(x),где х ∈[-1;1].симметричен графику функции у= sin(⁡x), где х∈[-π/2;π/2],относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arcsin(x).

Так как область значений функцииarcsin(x)принадлежит промежутку [-π/2;π/2], то подходит только значениеπ/6 .Следовательноarcsin(1/2) =π/6.

Так как область значений arcsin(x) х ∈[-π/2;π/2], то подходит только значение -π/3.Следовательноarcsin(-(√3)/2) =- π/3.

Арккосинусом числа α называют такое число α из промежутка [0;π], косинус которого равен α.

Функция у= cos(⁡x) на отрезке [0;π], строго убывает и непрерывна; следовательно, она имеет обратную функцию , строго убывающую и непрерывную.

Функция , обратная для функции у= cos⁡x, где х ∈[0;π], называется арккосинусом и обозначается y=arccos(x),где х ∈[-1;1].

Итак, согласно определению обратной функции , областью определения арккосинуса является отрезок [-1;1], а множеством значений - отрезок [0;π].

Отметим , что график функцииy=arccos(x),где х ∈[-1;1] симметричен графику функции у= cos(⁡x), где х ∈[0;π],относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arccos(x).

Так как область значений arccos(x) х∈[0;π], то подходит только значение π/3.Следовательно arccos(1/2) =π/3.

Так как область значений функции arccos(x) принадлежит промежутку [0;π], то подходит только значение 3π/4.Следовательноarccos(-(√2)/2) =3π/4.

Арктангенсом числа α называют такое число α из промежутка [-π/2;π/2], тангенс которого равен α.

Функция , обратная для функции у= tg⁡(x), где х∈(-π/2;π/2); называется арктангенсом и обозначается y=arctg(x),где х∈R.

Итак, согласно определению обратной функции , областью определения арктангенса является интервал(-∞;+∞), а множеством значений - интервал

Отметим , что график функции y=arctg(x),где х∈R, симметричен графику функции у= tg⁡x, где х ∈ (-π/2;π/2), относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arctg(x).

Так как область значений arctg(x) х ∈(-π/2;π/2), то подходит только значение π/6 .Следовательноarctg((√3)/3) =π/6.

Так как область значений arctg(x) х ∈(-π/2;π/2), то подходит только значение -π/4 .Следовательноarctg(-1) = - π/4.

Арккотангенсом числа α называют такое число α из промежутка (0;π), котангенс которого равен α.

На интервале (0;π),функция котангенс строго убывает; кроме того,она непрерывна в каждой точке этого интервала; следовательно, на интервале (0;π), эта функция имеет обратную функцию, которая является строго убывающей и непрерывной.

Функция , обратная для функции у=ctg(x), где х ∈(0;π), называется арккотангенсом и обозначается y=arcctg(x),где х∈R.

Итак, согласно определению обратной функции , областью определения арккотангенса будет R,а множеством значений –интервал (0;π).График функции y=arcctg(x),где х∈R симметричен графику функции y=ctg(x) х∈(0;π),относительно биссектрисы координатных углов первой и третьей четвертей.

Область значения функции y=arcctg(x).

Так как область значений arcctg(x) х ∈(0;π), то подходит только значение π/3.Следовательно arccos((√3)/3) =π/3.

Так как область значений arcctg(x) х∈(0;π), то подходит только значение 2π/3.Следовательноarccos(-(√3)/3) =2π/3.

Автор статьи: Чефранов Андрей Игоревич

Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна



Непрерывность функций
Понятие о производной функции по данному направлению