Вопрос 14: НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ;

Так как функция у = х непрерывна в любой точке, по теореме о непрерывности произведения непрерывных функций, функция у = х 2 – непрерывная. Последовательно применяя вышеупомянутую теорему, получаем, что для любого натурального m функция у = x m – непрерывна. Умножая непрерывные функции e = x, x 2 , a 3 , …, x k на постоянные числа с1, с2, …, сk соответственно, получаем, что c1x, c2x 2 , …, ckx k – непрерывные функции. Сложив c0 + c1x + … + ckx k получаем непрерывную функцию. Итак, многочлен – непрерывная на всей прямой функция.

2. Непрерывность рациональной функции

По определению, рациональной функцией R(x) называется отношение двух многочленов, P(x) и Q(x), т. е. R(x) = .

Во всех тех точках x0, где Q(x) ≠ 0, функция R(x) непрерывна по теореме о непрерывности частного. Если же в точке x0 выполняется равенство Q(x0) = 0, то в этой точке может быть устранимый разрыв, как например, в точке x0 = 1 у функции . Кроме того, в этой точке может оказаться разрыв второго рода, как, например, в точке x0 = 0 у функции .

Для дальнейшего исследования будет полезной следующая теорема.

Теорема 14.1. Пусть y = f(x) возрастает (или убывает) на промежутке X, причём множество её значений образует промежуток Y. Тогда f(x) – непрерывная на X функция.

Для доказательства вспомним, что если f(x) строго монотонна на промежутке X, то, согласно следствию теоремы 10.2, в любой внутренней точке x0 этого промежутка существуют и . Если эти числа равны друг другу, то они, ввиду монотонности, равны f(x0) и f(x)ЄC(x0). Если же эти значения не равны друг другу, то во множестве значений Y функции f(x) имеется “пробел” между точками и , опять же ввиду монотонности f(x). Но, по условию, множество значений Y образует промежуток, в котором не может быть “пробелов” по определению промежутка. Теорема доказана.

3. Непрерывность показательной функции

Функция y=a x монотонна (возрастает при a>1, убывает при 0<a<1) и множеством ее значений при xÎ является бесконечный промежуток – множество всех положительных чисел. По доказанной теореме, функция y=a x непрерывна на всей числовой оси.

4. Непрерывность логарифмической функции

Функция logax монотонна (возрастает при a>1, убывает при 0<a<1) и при xÎ(0,+¥) ее множеств значений есть . По доказанной теореме, y=logax непрерывна на (0,+¥).

Функция y=x m определена при x>0, причем x m = e m ln x . По доказанному, z = m ln x - непрерывная функция при x>0, функция y = e z непрерывна при всех z, поэтому, по теореме о непрерывности сложной функции, y = x m - непрерывная при x>0 функция.

При вычислении предела было установлено, что если , то . Ввиду нечетности функций y=x и y= sin x, при . Из этого сразу следует, что при выполняется неравенство . Пусть x0 произвольная точка. Докажем, что . Это равносильно тому, что . В свою очередь, это равносильно тому, что . Так как, по доказанному выше, , . Кроме того, функция 2cos , очевидно, ограниченная. По свойствам бесконечно малых, получаем требуемое.

Она непрерывна по теореме о непрерывности сложной функции, так как , – непрерывная функция и y= sin z – тоже непрерывная функция.

Эта функция непрерывна во всех точках, кроме . В этих, последних, она имеет разрыв второго рода.

она непрерывна во всех точках, кроме точек x = pn, nÎz, где она имеет разрыв второго рода.

Она определена на отрезке [-1, 1], возрастает на нём и множеством её значений является отрезок [ ]. По доказанной теореме 14.1, y = arcsin x непрерывна на [-1, 1].

Следует из тождества arcsin x + arccos x = , т.е. arccos x = - arcsin x - функция, также непрерывная на [-1, 1].

Функция определена и возрастаёт на всей числовой прямой. Множество значений – интервал ( ). Поэтому y = arctg x непрерывна на всей числовой прямой.

Следует из равенства : arctg x + arctg x = .

Вопрос 15:СИМВОЛЫ , . ВЫЧИСЛЕНИЕ , ,

Пусть , определены в .

Определение 15.1. , , если существует , – б. м. при такая, что .

Определение 15.2. , , если существует , – ограниченная в , такая, что .

1) при , т.к. , а ; но

2) , при ∞, т.к. , и при ∞.

Вообще, если и , то и если и ∞ то .

Из свойств бесконечно малых величин следуют такие свойства символов , :

Теорема 15.1.Если , , то ,

; все соотношения выписаны при .

Доказательство. Действительно, , , – б. м. при

и , а .В фигурных скобках стоят бесконечно малые при .



Интегралы от тригонометрических функций