Приращение аргумента и приращение функции. Производная как предел отношения приращений. Непрерывность функции

Приращение аргумента и приращение функции. Производная как предел отношения приращений

Заметим, что существование производной функции y = f (x) и значение производной зависят от выбора точки x0 . Поэтому производная функции сама является функцией точки x0 .

Если в формуле (2) заменить x0 на x , а разность x1x0 обозначить символом Δx, то эта формула примет вид

Определение 1 . Переменную Δx называют приращением аргумента , а разность

называют приращением функции f (x) в точке x , соответствующим приращению аргумента Δx, и обозначают Δf .

Используя определения приращения аргумента и приращения функции, формулу (3) можно переписать так:

В соответствии с этой формулой производную функции f (x) в точке x называют пределом отношения приращения функции к приращению аргумента в точке x , когда приращение аргумента стремится к нулю.

Пример 1 . Вывести формулу для производной функции y = x 2 .

Решение . Из формулы (3) получаем:

Ответ .

Непрерывность функции

Определение 2 . Функцию y = f (x) называют непрерывной в точке x0 , если выполнено равенство

Другими словами, функция f (x) непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда выполнено равенство

Пример 2 . Доказать, что функция y = x 3 непрерывна в любой точке x , где .

Решение. Выберем произвольную точку x, где , и воспользуемся формулой сокращенного умножения «куб суммы»:

Соотношение (7) выполнено, что и завершает решение примера 2.

Пример 3 . Доказать, что функция

разрывна (не является непрерывной) в точке x = 0 .

Решение. Поскольку в точке x = 0

то соотношение (7) в точке x = 0 не выполняется. Таким образом, функция (8) является разрывной в точке x = 0 .

Для наглядности приведем график функции (8) (рис. 1).

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: если функция f (x) непрерывна в точке x0 , то отсюда вовсе не следует, что в этой точке у функции должна существовать производная. Примером является функция f (x) = |x| (модуль x ), которая непрерывна в точке x = 0 , но у нее не существует производной в этой точке.

На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Запись по телефону (495) 509-28-10 .

Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Подготовка к итоговому сочинению

  • Курсы по математике к ОГЭ и к ЕГЭ

(базовый и профильный уровни)

  • Курсы по русскому языку



    Формула Тейлора для функции
    Неопределенный интеграл