Скалярное произведение векторов: определение, свойства, вычисление

Определение 1.Углом между векторами и называется наименьший угол между этими векторами, отнесенными к общему началу.

Определение 2.Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

(1)

Обозначения или .

Свойства скалярного произведения.

1). Коммутативность: , следует из определения.

2). .

Доказательство. .

3).

Доказательство. .

4).

Доказательство. .

Из этого свойства следует, что , .

5). Для того, чтобы векторы были перпендикулярны , необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю .

а) Пусть векторы перпендикулярны и , тогда ,следовательно, и .

б) Пусть , тогда , следовательно, .

6). - острый ;

- тупой.

7.Для базисных ортов имеют место следующие соотношение

Скалярное произведение векторов в декартовой системе координат

Пусть даны два вектора , найдем их скалярное произведение

воспользуемся свойством 7, получим формулу

(2)

Приложения скалярного произведения

(3)

2.Вычисление косинуса угла между векторами

(4)

3.Условие перпендикулярности векторов

Пример.Даны векторы и . Найти косинус угла между векторами.

Решение. Воспользуемся формулой (2.19) : вычисляем

, ,

Получаем .

Векторное произведение векторов: определение, свойства, вычисление.

Даны три вектора с общим началом и не лежащие в одной плоскости.

Определение 1.Тройка векторов называется правой (левой), если кратчайший поворот от к виден из конца вектора происходящим против (по) часовой стрелки.

Если в тройке поменять местами какие-то два вектора, а третий оставить на своем месте, то тройка изменит свою “ориентацию”. Например, если - правая тройка, то - левая тройка. При циклической перестановке векторов в тройке “ориентация” тройки не меняется. Например, если - правая тройка, то - тоже правая тройка.

Смысл декартовой тройки должен соответствовать выбранному правилу.

Определение 2.Векторным произведением двух векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим свойствам:

1. он перпендикулярен векторам и , то есть перпендикулярен плоскости векторов и ;

2. длина этого вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , то есть ;

3. тройка - правая.

Обозначения или .

Свойства векторного произведения

1) Антикоммутативность:

Доказательство.Пусть , построим вектор . , то есть

длины векторов и равны , но чтобы тройка векторов была правой, вектор должен быть противоположен вектору , следовательно, .

2). Если в векторном произведении изменить знак одного из множителей, то произведение тоже изменит знак: .

3).

Доказательство.а) Для очевидно;

б) для : если длина одной из сторон параллелограмма изменяется в раз, то площадь параллелограмма тоже изменится в раз;

в) для : .

4). .

Доказательство. Возьмем единичный вектор , перпендикулярный плоскости , . Спроектируем вектор на плоскость , получим вектор , повернем его в плоскости вокруг точки по часовой стрелке на : а) ;

б) ( так как , ( так как , а - проекция тогда по теореме о трех перпендикулярах выполняется этот факт);

в) - правая тройка, следовательно, .

Вектор . В . Спроектируем данный треугольник на плоскость , получим , повернем его в плоскости по часовой стрелке на ,

получим . .

Так как , то .

, тогда , следовательно,

.

5). .

6). Для того, чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было равно нулю.

а) Пусть векторы и коллинеарны, следовательно, или

, тогда и , нулевую длину имеет только нулевой вектор, то есть ;

б) Пусть , тогда , но , следовательно,

, а это значит, что и коллинеарны.

7). .

8). Векторные произведения базисных ортов можно представить в виде таблицы:

Пояснение: векторное произведение - это вектор, перпендикулярный векторам и , длина которого равна площади квадрата, построенного на векторах и , то есть равна 1 , а тройка векторов - правая тройка, отсюда следует, что . Остальные произведения можно получить, используя свойства векторного произведения.

Векторное произведение в декартовой системе координат

Пусть , найдем их векторное произведение.

.

Приложения векторного произведения

Если на векторах и построен параллелограмм, то его площадь можно вычислить по формуле:

.

Если на векторах и построен треугольник, то его площадь можно вычислить по формуле:

.

На плоскости векторное произведение не определено, а площадь параллелограмма вычисляется следующим образом:

.

Пример.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Решение.Воспользуемся формулой. Для этого сначала вычислим векторное произведение данных векторов



Окружность, эллипс, гипербола и парабола как конические сечения
Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать