Open Library - открытая библиотека учебной информации

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Математика Основные правила дифференцирования

Схема вычисления производной

Нахождение производной функции принято называть ее дифференцированием.

В случае если функция в точке х имеет конечную производную, то функция принято называть дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всœех точках промежутка X, принято называть дифференцируемой на этом промежутке.

Теорема о зависимости между непрерывностью и днфференцируемостью функции: если функция дифференцируема в точке, то она в этой точке непрерывна.

Замечание: обратное утверждение в общем случае не является верным, ᴛ.ᴇ. если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно в ней дифференцируема. Непрерывность функции является необходимым, но не достаточным условием ее дифференцируемости.

Приведем пример функции, которая, являясь непрерывной в точке х = 0, при этом недифференцируема в этой точке. На рисунке 3.2 представлен график функции у = |х|. Она непрерывна в точке х = 0. Производная функция (если она существует) равна . Последний предел не существует, так как односторонние пределы в этой точке не совпадают ( ). Следовательно, производная в точке х = 0 не существует (геометрически это означает отсутствие касательной к кривой в точке х = 0).

Схема нахождения производной функции у = f(х) включает следующие этапы:

1. Дают аргументу х приращение Dх ¹ 0 и находят значение функции у = f(х + Dх).

2. Находят приращение функции Dу = f(х + Dх) - f(х).

3. Составляют отношение Dу/Dх.

4. Находят его предел при Dх ® 0 (если данный предел существует).

Рассмотрим эти этапы на примере функции у = х 3 . Чтобы найти ее производную, дадим аргументу приращение Dх ¹ 0 и найдем у = f(х + Dх) = = (х + Dх) 3 = х 3 + 3х 2 Dх + 3хDх 2 + Dх 3 . Затем найдем приращение функции Dу = f(х + Dх) - f(х) = f(х + Dх) - х 3 = 3х 2 Dх + 3хDх 2 + Dх 3 = Dх (3х 2 + 3хDх + + Dх 2 ). Составим отношение Dу/Dх = 3х 2 + 3хDх + Dх 2 . Найдем его предел .

Можно доказать, что для любого n (x n )` = nx n -1 .

Рассмотрим их без доказательства.

1. Производная постоянной равна нулю, ᴛ.ᴇ. с' = 0 (это очевидно, так как любое приращение постоянной функции равно нулю).

2. Производная аргумента равна 1, ᴛ.ᴇ. х` = 1 (правило следует из формулы для производной степенной функции).

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций: (u + v)' = u' + v'.

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: (uv)'=u'v + v'u.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (сu)' = сu'.

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителœей на всœе остальные, к примеру: (uvw)' = u'vw + uv'w + + uvw'.

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле .

6. В случае если у = f(u) и u = j(х) - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции у = f([j(х)]) существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу u, умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х: y` = f `(u)*u`.

7. Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величинœе производной данной функции: .

Проиллюстрируем последнее правило на примере взаимно обратных функций, производные которых мы уже знаем. Возьмем степенную функцию y = x 3 , y` = 3x 2 . Такую же производную можно получить, если воспользоваться обратной функцией. В самом делœе, . По правилу .

Читайте также

Производная сложной функции. 1. Производная постоянной величины равна нулю, т.е. . 2. Производная аргумента равна 1, т.е. . Пусть u = u(x) и v = v(x) дифференцируемые функции, тогда: 3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме. [читать подробенее]

Схема вычисления производной Производная функции y = f(x) может быть найдена по следующей схеме: 1) Дадим аргументу х приращение Dх ¹ 0 , х + Dх. 2) Найдем значение функции f(x + Dх). 3) Находим приращение функции Dу = f(x + Dх) - f(x). 4) Составляем отношение . 5) Находим предел этого. [читать подробенее]

1. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций: . 2.Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведения производной первого множителя на второй множитель и произведения. [читать подробенее]

Рассмотрим их без доказательства. 1. Производная постоянной равна нулю, т.е. с' = 0 (это очевидно, так как любое приращение постоянной функции равно нулю). 2. Производная аргумента равна 1, т.е. х` = 1 (правило следует из формулы для производной степенной функции). 3. Производная. [читать подробенее]

Схема вычисления производной Дифференцируемость функции Нахождение производной функции называется ее дифференцированием. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая. [читать подробенее]

(одно из правил доказать) К правилам дифференцирования обычно относят правила, позволяющие по определенному алгоритму найти производную любой элементарной функции. Для этого достаточно знать таблицу формул производных основных элементарных функций, правила. [читать подробенее]

ЛЕКЦИЯ 7 Тема 6: Производная ПЛАН 1. Основные правила дифференцирования функций одной переменной. 2. Формулы производных основных элементарных функций. 3. Производная сложной функции.К правилам дифференцирования обычно относят правила, позволяющие по определенному. [читать подробенее]

Уравнение нормали к графику функции одной переменной Уравнение касательной к графику функции одной переменной y – y0 = f¢ (x0)(x – x0) , где y0 = f (x0), f¢ (x0) – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f (x) в точке (x0 , y0)., где – угловой коэффициент нормали к. [читать подробенее]

Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной и ее геометрический смысл. 1. ncp.=DS/Dt, n=lim(DS/Dt), где Dt®0 2. pcp.=Dm/Dl, pT=lim(Dm/Dl), где Dl®0 Dy=f(x+Dx)-f(x), y=f(x) lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx) Dx®0 Dx®0 Смысл производной - это скорость изменения ф-ции при изменении аргумента. . [читать подробенее]

Производная функции Занятие 4 Пусть функция определена на интервале .Определим: - приращение аргумента в точке , а - приращение функции в точке . Если существует конечный предел , то он называется производной функции в точке . Значение производной -есть. [читать подробенее]



Уравнение прямой, проходящей через две данные точки


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать