Свойства двойного интеграла

Постоянный множитель может быть вынесен за знак двойного интеграла

(\iint\limits_R \right)dA> = c\iint\limits_R \right)dA>,) где (c) - константа;

Если функции $\mathbf<\textit>(\mathbf<\textit>$, $\mathbf<\textit>)$, $\mathbf<\textit>(\mathbf<\textit>$, $\mathbf<\textit>)$ интегрируемы по области $\mathbf<\textit>$, то их линейная комбинация $\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)$ тоже интегрируема по области $\mathbf<\textit>$, и $\iint\limits_D <\left[ <\alpha f(P)+\beta g(P)>\right]ds=>\alpha \iint\limits_D +\beta \iint\limits_D $.

Для интегральных сумм справедливо равенство

Переходя к пределу при $d=\mathop <\max >\limits_ diam(D_i )\to 0$ и пользуясь свойствами пределов, рассмотренными в разделе Арифметические действия с пределами , получим требуемое равенство.

Если область $\mathbf<\textit>$ является объединением двух областей $\mathbf<\textit>_<1>$ и $\mathbf<\textit>_<2>$, не имеющих общих внутренних точек, то $\iint\limits_D =\iint\limits_ +\iint\limits_ $.

Интеграл от единичной функции по области

$\mathbf<\textit>$ равен площади этой области: $\iint\limits_D =s(D)\textbf<. >$

Для любого разбиения $\sum\limits_^n =s(D)$, т.е. не зависит ни от разбиения, ни от выбора точек $\mathbf<\textit

>_$. Предел постоянной равен этой постоянной, поэтому $\iint\limits_D =\mathop <\lim >\limits_ \sum\limits_^n =s(D)$.

Если в любой точке $P\in D$ выполняется неравенство $f(P)\leqslant g(P)$, и функции $\mathbf<\textit>)$, $\mathbf<\textit>(\mathbf<\textit

>)$ интегрируемы по области $\mathbf<\textit>$, то $\iint\limits_D \leqslant \iint\limits_D $.

В любой точке $P_i \in D$ выполняется неравенство $f(P)\leqslant g(P)$, поэтому $\sum\limits_^n \leqslant \sum\limits_^n $. По теореме о переходе к пределу в неравенствах отсюда следует требуемое утверждение.

Теоремы об оценке интеграла

Если функция $\mathbf<\textit>)$ интегрируема по области $\mathbf<\textit>$ и для $\forall P\in D$ выполняется $m\leqslant f(P)\leqslant M$, то $m\cdot s(D)\leqslant \iint\limits_D \leqslant M\cdot s(D)$.

$m\leqslant f(P)\leqslant M \quad \mathop \Rightarrow \limits^ <ссылки-еще-нет>\quad \sum\limits_^n \leqslant \sum\limits_^n \leqslant \sum\limits_^n \mathop \Rightarrow \limits^ <ссылки-еще-нет>\\ \quad \mathop \Rightarrow \limits^ <ссылки-еще-нет>m\sum\limits_^n \leqslant \sum\limits_^n \leqslant M\sum\limits_^n \mathop \Rightarrow \limits^ <ссылки-еще-нет>m\cdot s(D)\leqslant \iint\limits_D \leqslant M\cdot s(D)$

Цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств.

Эти неравенства непосредственно следуют из того, что $-\vert f(P)\vert \leqslant f(P)\leqslant \vert f(P)\vert $ и свойства Интегрирование неравенств

Если функция $\mathbf<\textit>)$ непрерывна на области $\mathbf<\textit>$, то существует точка $P_0 \in D$, такая что $\iint\limits_D =f(P_0 )\cdot s(D)$.

Непрерывная на ограниченной замкнутой области $\mathbf<\textit>$ функция $\mathbf<\textit>)$ принимает в некоторых точках этой области своё минимальное $\mathbf<\textit>$ и максимальное $\mathbf<\textit>$ значения. Так как $m\leqslant f(P)\leqslant M$, то $m\cdot s(D)\leqslant \iint\limits_D \leqslant M\cdot s(D)$, или $m\leqslant \frac<1>\iint\limits_D \leqslant M$. Непрерывная функция принимает, кроме того, любое значение, заключённое между $\mathbf<\textit>$ и $\mathbf<\textit>$, в частности, значение

$\frac<1>\iint\limits_D \leqslant M$. Следовательно, $\exists P_0 \in D\vert \;f(P_0 )=\frac<1>\iint\limits_D $, откуда и следует доказываемое утверждение.

Читайте также:

Класс $S$. Теорема о замкнyтости класса $S$

Теорема о заведомо полныx системаx

Свойства криволинейного интеграла второго рода

Определение двойного интеграла

Вычисление поверхностного интеграла первого рода

Перейти к оглавлению $\Rightarrow\Rightarrow\Rightarrow $

Если у Вас есть вопросы или комментарии, Вы можете оставить их ниже.

Комментарии ( 0 )

В Контакте

Все права защищены. При использовании материалов сайта ссылка на правообладателя и источник заимствования обязательна.



Производная интеграла по переменной верхней границе
Определение векторного произведения


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать