Понятие функции комплексной переменной

Понятие комплексного числа было рассмотрено в нашей книге «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», глава 5. Там же были рассмотрены многочлены от комплексного переменного. Многочлен является простейшим примером функции комплексного переменного.

Комплексные числа мы условились изображать точками плоскости, где задана прямоугольная система координат.

Дадим понятие функции от комплексного переменного.

Пусть даны две плоскости комплексных чисел и (рис. 129). Рассмотрим некоторое множество

точек в плоскости и множество в плоскости . Если каждому числу по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число , то говорят, что на множестве задана однозначная функция комплексного переменного, отображающая множество в множество . Символически это обозначают так:

Множество называют областью определения функции . Если каждая точка множества является значением функции, то говорят, что - область значений этой функции или образ множества при помощи функции . В этом случае говорят еще, что функция отображает на .

Функцию можно записать в виде

,

,

,

- действительные функции от переменных .

Если каждому соответствует несколько разных значений , то функция называется многозначной.

Понятия предела и непрерывности функции комплексного переменного вводятся аналогично, как это делается для функции действительного переменного, необходимо лишь всюду вместо абсолютной величины писать модуль комплексного числа.

Говорят, что функция

имеет предел в точке , равный числу , если

. (1)

В этом случае пишут

.

На языке функций и свойство (1) записывается в виде равенства

(2)

или, что все равно, в виде двух равенств

, . (3)

Для комплексных функций и имеют место свойства, аналогичные соответствующим свойствам действительных функций:

(4)

Как обычно, формулы (4) надо понимать в том смысле, что если пределы, стоящие в их правых частях, существуют, то существуют также пределы, стоящие в их левых частях, и выполняется соответствующее равенство.

Функция называется непрерывной в точке , если для нее выполняется свойство

, , . (5)

Таким образом, непрерывная в точке функция должна быть определена в окрестности этой точки, в том числе и в ней самой и должно выполняться равенство (5). Равенство (5) эквивалентно двум равенствам:

, .

Следовательно, непрерывность в точке эквивалентна непрерывности функций и в точке .

Из свойств (4) следует, что сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке комплексных функций и есть непрерывная функция в этой точке. В случае частного надо в этой формулировке считать, что .

Пример 1. Функция задана на всей комплексной плоскости. Ее значения – неотрицательные числа. Эта функция непрерывна во всех точках комплексной плоскости:

.

. (6)

Эта функция многозначная (бесконечнозначная); - главное значение аргумента .

Пример 3. Функция . Она непрерывна:

.

Но тогда и функция непрерывна как произведение конечного числа непрерывных функций.

Множество комплексных чисел будем называть областью, если , как множество точек плоскости, открыто и связно.

Область называется односвязной, если любая непрерывная замкнутая самонепересекающаяся кривая, проведенная в , ограничивает некоторую область , целиком принадлежащую . Область, не обладающую этим свойством, будем называть многосвязной.

Пример 4. Кольцо - многосвязная (двусвязная) область. Кривая (рис. 130) принадлежит кольцу, но ограничивает область, не входящую целиком в него.

Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт



Прямоугольные координаты точки на плоскости


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать