§27. Понятие и представления комплексных чисел

27.1. Основные понятия

Комплексным числом z называется выражение вида z=х+iу, где х и у — действительные числа, a i — так называемая мнимая единица, i 2 =-1.

Если x=0, то число 0+iy=iy называется чисто мнимым; если у=0, то число х+i0=х отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т. e. R Ì С.

Число х называется действительной частью комплексного числа z и обозначается х=Re z, а у — мнимой частью z, у = Im z.

Два комплексных числа z1=x1+iy1 и z22+iy2 называются равными (z1=z2) тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: х12, y12. В частности, комплексное число z=х+iy равно нулю тогда и только тогда, когда х=у=0. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Два комплексных числа z=х+iy и z=х-iy, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

27.2. Геометрическое изображение комплексных чисел

Всякое комплексное число z=x+iy можно изобразить точкой М(х;у) плоскости ОXY такой, что х=Rez, у=Imz. И, наоборот, каждую точку М(х;у) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z=х+iy (см. рис. 161).

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней лежат действительные числа z=х+0i=х. Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые комплексные числа z=0+iy.

Комплексное число z=х+iy можно задавать с помощью радиус-вектора r =ОМ=(х;у). Длина вектора r , изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается |z| или r. Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором r , изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Argz или φ.

Аргумент комплексного числа z=0 не определен. Аргумент комплексного числа z≠0 — величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πk (k=0,-1,1,-2,2. ): Argz = argz + 2πk, где argz — главное значение аргумента, заключенное в промежутке (—π;π], т. е. —π<argz≤π (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0;2π)).

27.3. Формы записи комплексных чисел

Запись числа z в виде z=х+iy называют алгебраической формой комплексного числа.

Модуль r и аргумент φ комплексного числа можно рассматривать как полярные координаты вектора r = ОМ , изображающего комплексное числоz=х+iy (см. рис. 162). Тогда получаем х=rcosφ, у=rsinφ. Следовательно, комплексное число z=х+iy можно записать в виде z=rcosφ+irsinφ или z=r(cosφ+isinφ).

Такая запись комплексного числа называется тригонометрической формой.

Модуль r=|z| однозначно определяется по формуле

Например, |i|= Ö (0 2 +1 2 )=1. Аргумент φ определяется из формул

Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента комплексного числа z, т. е. считать φ=argz.

Так как -π<argz≤ π, то из формулы tgφ=у/х получаем,что

Если точка z лежит на действительной или мнимой оси, то argz можно найти непосредственно (см. рис. 163). Например, argz1=0 для z1=2; argz2

Используя формулу Эйлера

е iφ =cosφ+isinφ, комплексное число z=r(cosφ+isiπφ) можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме z=rе iφ , где r=|z| — модуль комплексного числа, а угол φ=Argz=argz+2k p (k=0,-1,1,-2,2. ).

В силу формулы Эйлера, функция е iφ периодическая с основным периодом 2 p . Для записи комплексного числа z в показательной форме, достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т. е. считать φ=argz.

Записать комплексные числа z1=-1+i и z2=-1в тригонометрической и показательной формах.



Производные неявной, параметрической функций


Узнать стоимость за 15 минут
  • Тип работы
  • Часть диплома
  • Дипломная работа
  • Курсовая работа
  • Контрольная работа
  • Реферат
  • Научно - исследовательская работа
  • Отчет по практике
  • Ответы на билеты
  • Тест/экзамен online
  • Монография
  • Эссе
  • Доклад
  • Компьютерный набор текста
  • Компьютерный чертеж
  • Рецензия
  • Перевод
  • Репетитор
  • Бизнес-план
  • Конспекты
  • Проверка качества
  • Единоразовая консультация
  • Аспирантский реферат
  • Магистерская работа
  • Научная статья
  • Научный труд
  • Техническая редакция текста
  • Чертеж от руки
  • Диаграммы, таблицы
  • Презентация к защите
  • Тезисный план
  • Речь к диплому
  • Доработка заказа клиента
  • Отзыв на диплом
  • Публикация статьи в Вак
  • Публикация статьи в Scopus
  • Дипломная работа MBA
  • Повышение оригинальности
  • Шрифт, pt
  • 12 pt
  • 14 pt
  • Другой
Прикрепить файл
Заказать