Производные высших порядков.

Производные высших порядков. - раздел Математика, Множество действительных чисел Производная F¢(Х) Функции Y=F(X) Сама.

Производная f¢(х) функции y=f(x) сама является некоторой функцией аргумента х. Следовательно, по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной.

Определение 2: Производная от производной некоторой функции называется производной второго порядка (или второй производной). (f¢(х))¢=f²(x)

Определение 3: Производная от второй производной называется производной третьего порядка (или третьей производной) и т. д. (f²(х))¢=f²¢(x)

Производные начиная со второй называются производными высшего порядка и обозначаются: у², у¢², у (4) , у (5) . у ( n ) .

Производные высших порядков имеют широкое применение в физике. Ограничимся физическим толкованием второй производной. Если функция у=f(х) описывает закон движения материальной точки по прямой линии, то, первая производная есть мгновенная скорость точки в момент времени x, а вторая производная равна скорости изменения скорости, т. е. ускорению движущейся точки в момент времени x.

Эта тема принадлежит разделу:

Множество действительных чисел

Множества. Множество действительных чисел. Виды числовых множеств.

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Производные высших порядков.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

В математике все понятия делятся на первичные (основные неопределяемые понятия) и определяемые через первичные или уже известные. Первичными понятиями являются точка, прямая, плоско

Рассмотрим аксиоматический метод введения вещественного (действительного) числа. Множество вещественных чисел разбивается на два множества — Q рациональных и`Q (I) ирр

Определение 3: Для любой пары а и b вещественных чисел определены, и притом единственным образом, два вещественных числа a+b

Для любых двух различных вещественных чисел а и b установлено одно из отношений: а=b, а>b или b>а (равенство или больше). Отно

13) Пусть X и Y — два множества, состоящие из вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел хÎХ и yÎY выполняется неравенство

Пусть а и b — два числа, причём а<b. Будем использовать следующие обозначения: Конечные числовые промежутки

Þ - знак логического следования aÞb означает «из предложения a следует предложение b» Û - знак рав

Определение 1:Комплексным числом z называется выражение z=а+ib,

Всякое комплексное число z=а+ib можно изобразить на плоскости Оху в виде точки А(а, b) с координатами а и b. Обратно, каждой

Обозначим через j и r (r³0) полярные координаты точки А(а, b), считая начало координат полюсом, а положительное направление оси Ох — полярной осью. То

· Сложение комплексных чисел. Суммой двух комплексных чисел z1=а1+ib1 и z2=а2

В алгебраической форме: z1=а1+i·b1; z2=а2+i·b

· Возведение комплексного числа в степень Формула Муавра Если п — целое положительное число, то [r(cosj+isinj)]n=rn

В алгебраической форме: z1=а1+i·b1; z2=а2+i·b

Определение 1:Функция f(x)=A0xn+A1xn-1+A2xn

Если в разложении многочлена п-й степени на линейные множители Q(x)=A0(x-а1)(x-а2)…(x-а

Среди корней многочлена могут быть и комплексные. Теорема 1:Если a=а+ib корень многочлена (r-кратный) с вещественными коэфф

Теорема 1:Если рациональная функция имеет степень многоч

Определение 1: Полярная система координат состоит из некоторой точки О - полюса, и исходящего из неё луча ОМ - полярной оси и задаётся единица масштаба для

Пусть X и Y—некоторые числовые множества. Определение 1: Функцией f называется множество упорядоченных пар чисел (х;

Определение 1: Если каждому члену n из натурального ряда чисел поставлено в соответствие вещественное число хn, то множество вещественных чисел

Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия Обозначение <аn>а1 –

Определение 1: Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А существует номер

Определение 1: Число а называется пределом числовой последовательностью <хn>, если для любого положительного числа e существует номер N т

Определение 1 (по Гейне): Число А называется пределом функции f(х) в точке х=х0, если для любой сходящейся к х0

Теорема 1: Сходящаяся последовательность имеет только один предел. Теорема 2: Сходящаяся последовательность ограничена.

Определение 1: Функция f(x) называется бесконечно малой функцией в точке х=х0 (или при х®х0), если

Пусть на некотором промежутке X определена функция f(x) и точка х0 принадлежит этому промежутку. Определение 1: Функция

Определение 1: Функция f(x) называется непрерывной в интервале (а; b), если она непрерывн

Теорема 1: (об устойчивости знака непрерывной функции) Пусть функция f(х) непрерывна в точке х0 и f(х

Пусть на некотором промежутке X определена функция y=f(x). Возьмем любую точку х0ÎХ и зададим аргументу х в точке х0

Теорема: Если функция х=j(t) имеет производную в точке t0, а функция y=f(x

Пусть функция f(x) дифференцируема в точке х0, т. е. приращение Dу можно записать в виде суммы двух слагаемых: Dу=АDх+a(Dх

Определение 1: Пусть функция f(х) дифференцируема в каждой точке х некоторого промежутка, тогда её дифференциал dy=f&c

Пусть функция задана параметрически на множестве Х посредством переменной t, называемой параметром:

Заметим, что данная функция является степенно-показательной функцией и её производную находят только лишь логарифмическим дифференцированием. Логарифмируя по основа

Пусть уравнение, связывающее х и у, определяет у, как неявную функцию х. Для нахождения производной

Теорема 1 (теорема Ферма): Пусть функция f(x) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х0 этого интервала имеет н

Теорема (правило Лопиталя): Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а, за исключением, бы

Теорема 1 (признак монотонности): Если функция f(х) дифференцируема на интервале (a, b) и f¢(х)≥0 (f¢(

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на интервале (a, b). Тогда существует касательная к графику функции y=f(x) в любой точке M(x

Определение 1: Если график функции сколь угодно близко приближается к той или иной прямой (при х®±¥ или вблизи точек разрыва второго рода), то такая прямая на

1) найти область определения функции; указать промежутки непрерывности; (по возможности указать область значений функции); найти вертикальные асимптоты; 2) исследовать функцию на чётность,

Восстановление функции по известной производной этой функции составляет одну из основных задач интегрального исчисления. Определение 1:

Определение 1:Если функция F(x) — первообразная для функции f(x), то множество функций F(x)+C, где С — произвольн

Свойство 1:Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражени

1) Непосредственное интегрирование; 2) Метод подстановки; 3) Метод интегрирования по частям. 1) Непосредственное интегрирование.

Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции.

Непосредственное интегрирование Вычисление интегралов с помощью таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределённых интегралов. Метод

Если а=b, то Если а>b, то

Интегралы от рациональных функций всегда выражаются через элементарные функции. Задача интегрирования рациональной функции сводится к нахождению интегралов следующих четырёх типов:

· Для нечётных степеней sinx или cosx применимо правило: Правило 1: Для вычисления интегралов вида:

Символ R(x; y) здесь и в дальнейшем обозначает дробь, числитель и знаменатель которой – многочлены относительно букв х, у. Такая дробь называется рациональной фун

Интегралы вида: рационализируются одной из подстановок Эйлера:

Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [а, b], а<b. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками а=x0<x1

· Если а=b, то ; · Если а>b, то

Теорема (Основная теорема интегрального исчисления):Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b]. Тогда, если функция F(x) является некоторой

Определение 1: Определённый интеграл , где промежуток интегрирования [

(несобственный интеграл I рода) Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [а, +¥). Если существует конечный предел

(несобственный интеграл II рода) Пусть функция f(x) имеет разрыв в точке х=b, а остальных точках этого промежутка (а; b) она непр

Пусть дана числовая последователь­ность а1, а2, а3, . аn, . Выражение вида

· Если сходится ряд: , то сходится и ряд:

Необходимое и достаточное условие сходимости положительного ряда:Для того чтобы ряд

Ряд называется знакопеременным, если его члены поочерёдно положительны и отрицательны: , где а

Ряд (1) (с членами произвольных знаков) заведомо сходится, если сходится положительный ряд (2):

· Применим признак сравнения: Сравним данный ряд с рядом

Сте­ленным рядом называется ряд вида (1): ао+а1х+а2х2+. +апхп+. а также ряд более общего вида (2): а

Теорема 1. Область сходимости степенного ряда есть некоторый промежуток (-R, R), симметричный относительно точки х=0. Иногда в него надо

Теорема 1. Область сходимости степенного ряда, расположенногопо степеням х-а есть некоторый промежуток (а-R, а+R), симметричный относитель

Разложить функцию f(x) в степенной ряд, расположенный по степеням х - х0 – это значит составить ряд, у которого радиус сходимости не равен нулю, а сумма тождественно равна данной

Определение 1.Уравнение вида F(x, y, y')=0, где х — независимая переменная; у — искомая функция; у' — ее производная, называется дифференциальным уравнением

§71 Линейное ДУ I порядка (ЛДУ I) Пусть ДУ I имеет вид: Мdx+Ndy=0 – оно называется ЛДУ I, если отношение M/N сод

Решение уравнения у¢+Р(x)у=Q(x) ищется в виде произведения двух других функций, то есть с помощью подстановки y=u·v, где u(x) и v(x) – неизвестные функции от х, причём одна из них произвольна,

Решение уравнения у¢+Р(x)у=Q(x) ищется в следующей последовательности: Составим вспомогательное ЛОДУ I у¢+Р(x)у=0 и решим его как уравнение с разделяющимися переменными. То есть

ау²+bу¢+cу=0, где а, b, c – некоторые постоянные. Составим характеристическое уравнение аk2+bk+

ау²+bу¢+cу=R(x), где а, b, c – некоторые постоянные. Его общее решение имеет вид:

· Если сходится ряд: , то сходится и ряд:

Необходимое и достаточное условие сходимости положительного ряда:Для того чтобы ряд

Ряд называется знакопеременным, если его члены поочерёдно положительны и отрицательны: , где аn

Степенным рядом называется ряд вида (1): ао+а1х+а2х2+. +апхп+. а также ряд более общего вида (2): а

Теорема Область сходимости степенного ряда, расположенного по степеням х есть (-R, R), симметричный относительно точки х=0. Иногд

Теорема Область сходимости степенного ряда, расположенного по степеням х-а есть некоторый промежуток (-R+а R+а), симметричный отн

Уравнение вида F(x, y, y')=0, где х — независимая переменная; у — искомая функция; у' — её производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Решение уравнения у¢+Р(x)у=Q(x) ищется в виде произведения двух других функций, то есть с помощью подстановки y=u·v, где u

Решение уравнения у¢+Р(x)у=Q(x) ищется в следующей последовательности: Составим вспомогательное ЛОДУ−I у¢+Р(x

ау²+bу¢+cу=0, где а, b, c – некоторые постоянные. Составим характеристическое уравнение аk2+bk+c=0, кото

ау²+bу¢+cу=R(x), где а, b, c – некоторые постоянные. Его общее решение имеет вид:

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?

Подпишитесь на Нашу рассылку
Новости и инфо для студентов
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто

Информация в виде рефератов, конспектов, лекций, курсовых и дипломных работ имеют своего автора, которому принадлежат права. Поэтому, прежде чем использовать какую либо информацию с этого сайта, убедитесь, что этим Вы не нарушаете чье либо право.



Канонические уравнения поверхностей второго порядка