Вектор-функции.

Предел и непрерывность вектор-функции.

a) Понятие вектор-функции. Если каждому значению \(t\in E\), где \(E\subset\mathbb\), поставлен в соответствие вектор \(r(t)\) трехмерного пространства, то говорят, что на множестве \(E\) задана векторная функция \(r(t)\) скалярного аргумента \(t\).

Пусть в пространстве фискирована прямоугольная система координат \(Oxyz\). Тогда задание вектор-функции \(r(t),\;t\in E\), означает задание координат \(x(t),\;y(t),\;z(t)\) вектора \(r(t),\;t\in E\). Если \(i,j,k\) — единичные векторы координатных осей, то

r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k,\qquad t\in E,\nonumber

Если \(z(t)=0\) при всех \(t\in E\), то вектор-функцию \(r(t)\) называют двумерной.

В случае, когда начало каждого из векторов \(r(t)\) совпадает с началом координат (рис. 21.1), эти векторы называют радиус-векторами, а множество их концов — годографом вектор-функции \(r(t)\), \(t\in E\), который можно рассматривать как траекторию точки \(M(t)\) конца вектора \(r(t)\), если считать, что \(t\) — время.

6) Предел вектор-функции. Вектор \(a\) называют пределом вектор-функции \(r(t)\) в точке \(t_0\) и пишут \(\displaystyle \lim_>r(t)=a\) или \(r(t)\rightarrow a\) при \(t\rightarrow t_0\), если

т.е. длина вектора \(r(t)-a\) стремится к нулю при \(t\rightarrow t_0\).

Рис. 20.1

тогда и только тогда, когда

x(t)\rightarrow a_1,\quad y(t)\rightarrow a_2,\quad z(t)\rightarrow a_3\quad при\quad t\rightarrow t_0.\label

\(\circ\) В самом деле, из неравенства

Поэтому, если \(r(t)\rightarrow a\) при \(t\rightarrow t_0\), т.е. выполняется условие \eqref, то выполняется условие \eqref.

Обратно: если выполняются условия \eqref, то из равенства \eqref следует, что выполнено условие \eqref. \(\bullet\)

При доказательстве свойств предела вектор-функции удобно использовать следующее очевидное утверждение: условие \eqref выполняется в том и только том случае, когда

где \(\alpha(t)\) — бесконечно малая вектор-функция, т.е.

\alpha(t)\rightarrow 0\quad при t\rightarrow t_<0>.\nonumber

\(\circ\) это свойство следует из неравенства

Свойство 2. Если \(r(t)\rightarrow a\) при \(t\rightarrow t_<0>\), а скалярная функция \(f(t)\) такова, что \(f(t)\rightarrow A\) при \(t\rightarrow t_<0>\), то \(f(t)r(t)\rightarrow Aa\) при \(t\rightarrow t_<0>\), т.е.

\(\circ\) Из определений пределов скалярной функции и вектор-функции следует, что \(r(t)=a+\alpha(t),\;f(t)=A+\beta(t)\), где \(\alpha(t)\) — бесконечно малая вектор-функция, \(\beta(t)\) — бесконечно малая функция при \(t\rightarrow t_0\). Поэтому \(f(t)r(t)=Aa+\gamma(t)\), где \(\gamma(t)=A\alpha(t)+\beta(t)a+\beta(t)\alpha(t)\) — бесконечно малая вектор-функция при \(t\rightarrow t_0\), откуда получаем равенство \eqref. \(\bullet\)

Свойство 3. Если \(r_1(t)\rightarrow a_1,\;r_2(t)\rightarrow a_2\) при \(t\rightarrow t_<0>\), то \(r_1+r_2\rightarrow a_1+a_2,\;(r_1,r_2)\rightarrow (a_1,a_2),\;[r_<1>,r_2]\rightarrow [a_1,a_2]\) при \(t\rightarrow t_<0>\), т.е.

\(\circ\) По условию \(r_(t)=a_+\alpha_\), где \(a_i(t)\rightarrow 0\) при \(t\rightarrow t_<0>\;(i=1,2)\). Поэтому \(r_1(t)+r_2(t)=a_1+a_2+\beta(t)\), где \(\beta(t)=\alpha_<1>(t)+\alpha_2(t)\rightarrow 0\) при \(t\rightarrow t_<0>\), откуда следует \eqref. Докажем формулу \eqref. В силу свойств скалярного произведения

причем в правой части этого равенства — бесконечно малая функция, т.к. \(\alpha_<1>(t),\alpha_<2>(t)\) — бесконечно малые вектор-функции и \(|(p,q)|\;\leq\;|p|\cdot|q|\) для любых векторов p и q.

Аналогично доказывается формула \eqref, в этом случае следует воспользоваться неравенством \(|[p,q]|\;\leq\;|p|\cdot|q|\). \(\bullet\)

г) Непрерывность вектор-функции. Вектор-функцию \(r(t)\) называют непрерывной при \(t=t_<0>\), если

Непрерывность вектор-функции \(r(t)=(x(t),y(t),z(t))\) при \(t=t_<0>\) в силу эквивалентности условий \eqref и \eqref означает, что ее координаты \(x(t),y(t),z(t)\) непрерывны в точке \(t_<0>\).

Назовем вектор-функцию \(\Delta r=r((t_0+\Delta t)-r(t_0)\) приращением вектор-функции \(r(t)\) в точке \(t_<0>\). Тогда условие \eqref означает, что

\Delta r\rightarrow 0\quad при\quad \Delta t\rightarrow 0.\label

Из определения непрерывности вектор-функции и свойств пределов векторных функций следует, что сумма, векторное и скалярное произведения вектор-функций \(r_1(t)\) и \(r_2(t)\) являются непрерывными функциями при \(t=t_<0>\), если вектор-функции \(r_1(t)\) и \(r_2(t)\) непрерывны в точке \(t_<0>\).

Производная и дифференциал вектор-функции.

a) Производная вектор-функции. Если существует \(\displaystyle \lim_<\Delta t\rightarrow 0>\frac<\Delta r><\Delta t>\) где \(\Delta r=r(t_0+\Delta t)-r(t_0)\), то этот предел называют производной вектор-функции \(r(t)\) в точке \(t_0\) и обозначают \(r'(t_0)\) или \(\dot(t_0)\).

Аналогично вводится понятие второй производной

и производной порядка \(n\;>\;2\) вектор-функции. Заметим, что если \(r(t)=(x(t),y(t),z(t))\), то

Утверждение \eqref следует из определения \eqref и свойств пределов вектор-функций.

Аналогично, если существует \(r''(t_<0>)\), то

Из определения производной следует, что \(\Delta r=r'(t_0)\Delta t+\alpha(\Delta t)\Delta t\), где \(\alpha(\Delta t)\rightarrow 0\) при \(\Delta t\rightarrow 0\), и потому \(\Delta r\rightarrow 0\) при \(\Delta t\rightarrow 0\). Таким образом, выполняется условие \eqref, т.е. вектор-функция \(r(t)\), имеющая производную в точке \(t_<0>\), непрерывна при \(t=t_<0>\).

Справедливы следующие правила дифференцирования вектор-функций:

\(\circ\) Формулы \eqref-\eqref справедливы в точке \(t\), если в этой точке соответствующие функции имеют производные. Ограничимся доказательством формулы \eqref. Пусть \(\Delta r_\) — приращение вектор-функции \(r_k(t)\), соответствующее приращению аргумента \(\Delta t\), т.е. \(\Delta r_k=r_k(t+\Delta t)-r_k(t),\;k=1,2\). Тогда, используя свойства скалярного произведения и свойства пределов вектор-функций, получаем

так как \(\displaystyle \frac<\triangle \mathrm_><\triangle t>\rightarrow r_'(t)\) при \(\Delta t\rightarrow 0\;(i=1,2)\) и \(\Delta r_2\rightarrow 0\) при \(\Delta t\rightarrow 0\). \(\bullet\)

Пусть существует \(r'(t)\) для всех \(t\in(\alpha,\beta)\) и пусть \(|r(t)|=C=const\) для всех \(t\in(\alpha,\beta)\).

Доказать, что \((r(t),r'(t))=0\), т.е. векторы \(r(t)\) и \(r'(t)\) ортогональны.

\(\triangle\) Используя формулу \(|r(t)|^2=(r(t),r(t))\), правило дифференцирования скалярного произведения (формула \eqref) и условие \(|r(t)|=C\), получаем \((r(t),r(t))'=2(r'(t),r(t))=0\), так как \(|r(t)|^<2>)'=(C^<2>)'=0\). Итак,

б) Дифференциал вектор-функции. Вектор-функцию \(r(t)\), определенную в некоторой окрестности точки \(t_<0>\), называют дифференцируемой при \(t=t_<0>\), если ее приращение \(\Delta r=r(t_<0>+\Delta t)-r(t_<0>)\) в точке \(t_<0>\) представляется в виде

\Delta r=a\Delta t+\Delta t\alpha(\Delta t),\label

где вектор \(a\) не зависит от \(\Delta t\), \(\alpha(\Delta t)\rightarrow 0\) при \(\Delta t\rightarrow 0\).

В этом случае вектор \(a\Delta t\) называют дифференциалом вектор-функции \(r(t)\) в точке \(t_<0>\) и обозначают \(dr\). Таким образом,

Как и в случае скалярной функции, дифференцируемость вектор-функции \(r(t)\) в точке \(t_<0>\) равносильна существованию ее производной в точке \(t_0\), причем

Если функция \(r(t)\) дифференцируема при \(t=t_<0>\), то, используя равенства \eqref и \eqref, получаем

\Delta r=r'(t_<0>)\Delta t+\Delta t \alpha(\Delta t),\label

где \(\alpha(\Delta t)\rightarrow 0\) при \(\Delta t\rightarrow 0\).

Полагая \(dt=\Delta t\), запишем равенство \eqref в виде

где опущено обозначение аргумента функции \(r'\). Отсюда получаем

Если функция \(t=t(s)\) дифференцируема при \(s=s_<0>,\;t(s_<0>)=t_<0>\), а вектор-функция \(r(t)\) дифференцируема в точке \(t_<0>\), то вектор-функция \(\rho(s)=r(t(s))\) дифференцируема в точке \(s_<0>\), а производная этой функции выражается формулой

где индекс указывает, по какому переменному производится дифференцирование.

\(\circ\) Функция \(\alpha(\Delta(t))\) в формуле \eqref не определена при \(\Delta t=0\). Доопределим ее при \(\Delta t=0\), полагая \(\alpha(0)=0\).

Так как \(t=t(s)\) — функция, дифференцируемая при \(s=s_0\), то \(\Delta t=t(s_<0>+\Delta s)-t(s_<0>)\rightarrow 0\) при \(\Delta s\rightarrow 0\). Разделив обе части равенства \eqref на \(\Delta s\neq 0\), получим

Правая часть \eqref имеет при \(\Delta s\rightarrow 0\) предел, равный \(r'(t_0)t'(s_0)\), так как \(\Delta t\rightarrow 0\) при \(\Delta s\rightarrow 0\) и \(\alpha(\Delta t)\rightarrow 0\) при \(\Delta t\rightarrow 0\). Следовательно, существует предел в левом части \eqref, и справедливо равенство \eqref. Формулу \eqref запишем кратко в виде равенства

выражающего правило дифференцирования вектор-функции при замене переменного. \(\bullet\)

Теорема Лагранжа и локальная формула Тейлора для вектор-функции.

Формула Лагранжа, т.е. формула

для вектор-функции, вообще говоря, неверна.

\(\circ\) В самом деле, пусть формула \eqref верна, и пусть \(r(t)=(\cos t,\sin t)\), тогда \(r'(t)=(-\sin t,\cos t),\;|r'(t)|=1\). Полагая \(\alpha=0,\beta=2\pi\), получим из равенства \eqref \(0=r(2\pi)-r(0)=r'(\xi)2\pi\), что невозможно, так как \(|r'(\xi)|=1\). \(\bullet\)

Теорема (Лагранжа). Если вектор-функция \(r(t)\) непрерывна на отрезке \([\alpha,\beta]\) и дифференцируема на интервале \((\alpha,\beta)\), то

\(\circ\) Рассмотрим скалярную функцию

эта функция непрерывна на отрезке \([\alpha,\beta]\), так как вектор-функция \(r(t)\) непрерывна на этом отрезке. Кроме этого, функция \(\varphi(t)\) дифференцируема на интервале \((\alpha,\beta)\), так как функция \(r(t)\) дифференцируема этом интервале, причем в силу правила дифференцирования скалярного произведения

По теореме Лагранжа

Преобразуем левую часть неравенства \eqref:

Тогда равенство \eqref примет вид

Если \(r(\beta)=r(\alpha)\), то неравенство \eqref справедливо при любом \(\xi\in \in(\alpha,\beta)\). Если \(r(\beta)\neq r(\alpha)\), то \(|r(\beta)-r(\alpha)|\;>\;0\). Тогда, используя неравенство \(|(a,b)|\leq|a|\cdot|b|\), из формулы \eqref получим

откуда, разделив обе части неравенства на \(|r(\beta)-r(\alpha)|\;>\;0\), получим неравенство \eqref. \(\bullet\)

Для вектор-функции \(r(t)\) справедлива локальная формула Тейлора

где \(\varepsilon(t-t_0)=o((t-t_<0>)^)\) — вектор-функция такая, что \(\varepsilon(t-t_0)=(t-t_<0>)^\varepsilon_<1>(t-t_<0>)\), где \(\varepsilon_<1>(t-t_<0>)\rightarrow 0\) при \(t\rightarrow t_<0>\).

Эта формула справедлива в предположении, что существует \(r^<(n)>(t_0)\). Для доказательства формулы \eqref достаточно воспользоваться локальной формулой Тейлора для компонент вектор-функции \(r(t)\).



Некоторые приложения смешанного произведения
Свойства определенного интеграла