Ряды фурье для периодических и непериодических функций

Ряды Фурье для периодических и непериодических функций

Пусть функция определена на ℝ.

Определение. Функция называется периодической на ℝ, если существует такое , что ℝ . Наименьшее из таких чисел Т называют периодом функции.

Если Т – период , то числа − также являются периодами.

Сумма, разность, произведение, частное функций периода Т суть также периодические функции.

Если функция является периодической с периодом Т, и она интегрируема на некотором отрезке длиной Т, то интегрируема на любом отрезке длиной Т и

ℝ.

Если функция является нечетной на отрезке с периодом , то .

Если функция является четной на отрезке с периодом , то .

Заметим, что всякая периодическая функция полностью определяется своими значениями на любом промежутке , где T – ее период функции. Обычно в качестве промежутка для рассмотрения выбирается симметричный промежуток , , который носит название основного периода.

Пусть на задана произвольная функция , причем значения на концах отрезка и могут не совпадать. Если продолжить ее периодически с периодом , то получим функцию:

, ℤ.

где С совпадает со значением на концах промежутка , если ; в противном случае оно выбирается произвольно. Отметим, что если даже непрерывна на , то ее продолжение может быть разрывной функцией, если .

Понятия тригонометрической системы, тригонометрического ряда

Определение 1. Основной тригонометрической системой функций называется следующая совокупность периодических функций:

.

Все эти функции имеют основной период , хотя функции и имеют меньший период .

Определение 2. Общей тригонометрической системой функций периода называется следующая система функций:

,

где . Основной период этой системы и все функции задаются на отрезке .

Определение 3. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида:

,

где − коэффициенты тригонометрического ряда.

Частичная сумма этого ряда − линейная комбинация первых функций основной тригонометрической системы и называется тригонометрическим многочленом степени n, если хотя бы одно из . Этот ряд сходится, если , причем будет также периодической функцией с периодом .

Определение 4. Общимтригонометрическим рядом называется ряд вида:

.

Если он сходится, т.е. , то его сумма является периодической функцией с периодом .

Ортогональность тригонометрической системы

Определение. Система функций , называется ортогональной на отрезке , если , а если при этом , то такая система называется ортонормированной.

Теорема. Общая тригонометрическая система функций , , ортогональна на отрезке , причем

1) , , ;

2) ;

3) , ;

4) , ;

5) ,

Ряд Фурье для функции с периодом

Пусть дана периодическая функция с периодом T. Рассмотрим основной период , . Сопоставим этой функции тригонометрический ряд

.

Теорема. Если функция периодична с периодом и непрерывна на , а тригонометрический ряд сходится для всех , и при этом его можно почленно интегрировать в области сходимости, то если сумма указанного ряда , т.е. , тогда коэффициенты этого ряда вычисляются по формулам

(1) ;

(2) ;

(3) .

Определение. Тригонометрический ряд называется рядом Фурье для функции на отрезке , а коэффициенты , вычисляемые по формулам (1), (2), (3), называются коэффициентами Фурье.

Следствие теоремы. Если , то коэффициенты Фурье функции на отрезке определяются по формулам

(1*) ;

(2*) ;

(3*) .

Достаточные условия сходимости ряда Фурье к исходной функции. Условия Дирихле.

Основная задача теории тригонометрических рядов. Пусть дана некоторая периодическая функция с периодом .

При каких условиях функцию можно разложить в тригонометрический ряд и при каких условиях сумма полученного ряда будет совпадать с ?

В случае возможности разложения в тригонометрический ряд, как найти коэффициенты этого разложения ?

Имеет место следующая основная теорема теории тригонометрических рядов (рядов Фурье).

Теорема Дирихле. Пусть функция , заданная на отрезке , удовлетворяет на нем следующим условиям, называемым условиями Дирихле: функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода, а именно отрезок можно разбить на конечное число интервалов, где непрерывна и монотонна (т.е. кусочно-монотонна). Тогда ряд Фурье этой функции

, (1.1)

коэффициенты которого вычисляются по формулам 1)-3),

сходится при всех , причем его сумма :

(1) во всех точках интервала , в которых непрерывна;

(2) в точках разрыва I рода функции ;

(3) на концах .

Замечание. Поскольку члены ряда (1.1) периодичны с , то в случае сходимости ряда внутри , можем утверждать, что он сходится при всех , и сумма периодически повторяет с периодом те значения, которые она принимала на .

О разложимости непериодической функции в ряд Фурье

Пусть функция определена на . Продолжим данную функцию периодически до − периодической функции: , ℤ (в качестве периода T выбираем число, равное длине исходного промежутка , т.е. ), причем .

Полученную функцию раскладываем в ряд Фурье способом, описанным ранее.

Заметим, что поскольку − периодическая функция, то она определяется своими значениями на любом отрезке длиной в период Т, в том числе и на отрезке , где . А значит .

Аналогично , .

Т.к. коэффициенты Фурье вычисляются по , то мы можем получаемый тригонометрический ряд назвать рядом Фурье для . При этом равенство суммы ряда Фурье и функции выполняется на отрезке .

Замечание. В качестве периода функции можно выбрать любое число, большее , в этом случае функцию необходимо доопределить произвольным образом так, чтобы она была задана на промежутке, имеющем длину, равную выбранному периоду.

Рассмотрим несколько примеров разложения.

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. График функции изображен на рисунке 1:

Как видим, данная функция кусочно-монотонная, причем точка - точка разрыва первого рода. Поэтому, согласно теореме о разложении, функция может быть представлена рядом Фурье. В качестве периода выбираем число . Рассмотрим вспомогательную 2π-периодическую функцию , удовлетворяющую условию , график которой изображен на рисунке 2:

По формулам 1*-3* находим коэффициенты Фурье для функции :

;

Получаем тригонометрический ряд

,

который будет являться рядом Фурье для функции при .

Поскольку функция претерпевает разрыв в точке , то построенный ряд в этой точке имеет своей суммой число

.

В точках сумма данного ряда:

.

Ответ:

при .

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. График функции изображен на рисунке 3:

Как видим, данная функция кусочно-монотонная, причем точка − точка разрыва первого рода. Поэтому, согласно теореме о разложении, функция может быть представлена рядом Фурье. В качестве периода выбираем число . Рассмотрим вспомогательную 4-периодическую функцию , удовлетворяющую условию , график которой изображен на рисунке 4:

По формулам 1*-3* находим коэффициенты Фурье для функции :

;

Следовательно, получаем тригонометрический ряд

. (*)

Указанный ряд сходится и имеет сумму , для которой верны следующие условия:

при ;

при ;

при .

То есть рядом Фурье функции при является ряд (*).

Ответ:

при .

Задачи для самостоятельного решения:

Разложить в ряд Фурье функции:

Ответ: .

Ответ: .

на .

Ответ: .

на .

Ответ: .

на .

Ответ: .

на .

Ответ: .

Ответ: .

Ответ: .

Ответ: .

Ответ: .

на .

Ответ: .

на .

Ответ: .

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Пусть − некоторая функция, определенная на , удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле, тогда на указанном промежутке справедливо равенство

,

где − коэффициенты Фурье функции .

Рассмотрим частный случай разложения в ряд Фурье четных и нечетных функций.

Определение. Функция , заданная на , называется: а) четной, если ; б) нечетной, если , где - область определения функции .

Лемма 1. а) Пусть функция , определенная на , − четна, тогда .

б) Пусть функция , определенная на , − нечетна, тогда .

Теорема. а) Пусть − четная периодическая функция ( ), определенная на , тогда , т.е. ряд Фурье четной функции содержит только слагаемые с косинусами;

б) Пусть − нечетная периодическая функция ( ), определенная на , тогда , т.е. ряд Фурье четной функции содержит только слагаемые с синусами.

Пусть функция задана на . Дополним эту функцию произвольным образом на так, чтобы полученная функция удовлетворяла тем же условиям, что и . Дополненную функцию можно разложить в ряд Фурье с периодом . Рассмотрим два частных случая.

а) Пусть дополнена на «четным» образом, т.е. для всех :

Тогда на получим четную функцию (рис. 5а), причем , . Эту функцию можно разложить в ряд Фурье по косинусам.

б) Если же дополнена на «нечетным» образом, т.е. для всех , причем , , тогда получаем на нечетную функцию, которую можно разложить в ряд по синусам (рис. 5б).

Итак, всякую непериодическую функцию, заданную на и удовлетворяющую определенным условиям, можно разложить в ряд Фурье тремя способами: (1) в общий ряд Фурье, (2) только по косинусам, (3) только по синусам. Первый случай был разобран в предыдущей теме.

В случае четного продолжения (сл.(2)) разложение в ряд Фурье примет вид:

, (2.1)

где (2.2).

В случае нечетного продолжения (сл.(3)) разложение в ряд Фурье примет вид:

, (2.3)

где (2.4).

Пример 1. Найти ряд Фурье 2π − периодической функции , которая задается на отрезке равенством .

Решение. График функции изображен на рисунке 6:

Эта функция непрерывна в любой точке ℝ и кусочно-непрерывно дифференцируема, т.к. имеет в точках ℤ) разрыв первого рода, а в остальных точках − непрерывна. Следовательно, условия теоремы Дирихле выполнены при , и рассматриваемую функцию можно разложить в ряд Фурье (1.1), сходящийся в любой точке ℝ к .

Учитывая четность функции , ее коэффициенты вычисляем по формулам (2.2):

;

По формуле (2.1) находим:

ℝ.

Ответ: при ℝ.

Пример 2. Функцию , заданную на интервале , разложить в ряд Фурье по синусам.

Решение. Рассмотрим вспомогательную функцию , график которой изображен на рисунке 7.

Эта функция 2π-периодическая, нечетная. По формулам (2.4) вычисляем:

,

где ℕ.

Следовательно, согласно теореме Дирихле получаем по формуле (2.3):

.

Ответ: .

Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию , где .

Решение. Рассмотрим 2π − периодическую функцию , определенную на ℝ и совпадающую с на интервале (рисунок 8).

Функция является 2π – периодической, кусочно-непрерывной и кусочно-непрерывно дифференцируемой. Причем функции и терпят разрывы первого рода в точках вида ℤ. Следовательно, ряд Фурье, составленный для функции , совпадает при с функцией . Поэтому учитывая нечетность функции и формулы (2.4) при , получаем:

.

Значит, по формуле (2.3) находим искомое разложение:

.

Ответ:

Пример 4. Функцию , заданную на отрезке , разложить в ряд Фурье по косинусам.

Решение. Рассмотрим Т−периодическую (Т=4) четную функцию , график которой изображен на рисунке 9.

Для этой функции по формулам (2.2) находим коэффициенты ряда Фурье:

;

где ℕ.

Следовательно, согласно теореме Дирихле получаем по формуле (2.1):

.

Ответ: .

Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию

а) на интервале по синусам;

б) на по косинусам;

в) на .

Решение. а) Чтобы разложить функцию на интервале только по синусам, рассмотрим ее нечетное 2π−периодическое продолжение на всю числовую ось (рисунок 10).

Найдем для этой функции коэффициенты Фурье:

где ℕ.

Следовательно, для всех справедливо равенство:

.

б) Чтобы разложить функцию на только по косинусам, рассмотрим ее четное 2π−периодическое продолжение на всю числовую ось (рисунок 11).

Найдем для этой функции коэффициенты Фурье:

,

, ℕ.

Следовательно, при для функции справедливо равенство:

.

в) Для того чтобы функцию разложить на интервале , рассмотрим ее 2π−периодическое продолжение на всю числовую ось, что графически представлено на рисунке 12.

Для этой функции вычислим коэффициенты Фурье:

,

, ℕ.

, ℕ.

Следовательно, на для функции справедливо представление:

.

Ответ: а) ;

б) ;

в) .

Пример 6. Пользуясь разложением функции в ряд Фурье на отрезке , найти сумму ряда:

а) , б) .

Решение. Функция , заданная на отрезке и продолженная четным образом, имеет ряд Фурье:

. (2.5)

Следовательно, при из выражения (2.5) находим:

.

При формула (2.5) принимает вид:

. Ответ: а) , б) .

Задачи для самостоятельного решения

Разложить в ряд Фурье функции:

а) по косинусам, б) по синусам.

Ответ: а) .

б) .

по косинусам.

Ответ: .

на по синусам.

Ответ: .

по косинусам.

Ответ: .

на по синусам.

Ответ: .

на по синусам.

Ответ: .

Линейные уравнения в частных производных II порядка,

свойства решений, приведение к каноническому виду

Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени. Соответствующее уравнение содержит одну или несколько функций и их производных и называется дифференциальным уравнением. (Темп изменения расстояния со временем определяется скоростью; следовательно, скорость - производная от расстояния; аналогично, ускорение - производная от скорости, так как ускорение задает темп изменения скорости со временем.) Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и особенно для ее приложений, объясняются тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач. Дифференциальные уравнения играют существенную роль и в других науках, таких, как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений (коль скоро окружающий мир изменяется во времени, а условия изменяются от одного места к другому).

В этом разделе рассмотрим лишь частный случай дифференциальных уравнений, содержащих неизвестную функцию, зависящую от нескольких переменных, а именно линейное дифференциальное уравнение в частных производных (ЛДУрЧП) II порядка для функции 2-х переменных , которое имеет вид:

. (3.1).

Коэффициенты уравнения могут быть функциями только от x, y или постоянными, в последнем случае имеем ЛДУрЧП с постоянными коэффициентами, причем . Выражение называют главной частью уравнения (3.1), а линейную часть обычно обозначают . Рассмотрим лишь случай действительно-значных коэффициентов.

Если , то уравнение (3.1) является однородным, если − неоднородным. В случае линейное дифференциальное уравнение (3.1) приобретает вид:

(3.2).

1. Если и − решения однородного ЛДУрЧП (3.2), то также являются решениями этого уравнения.

2. Если − решение однородного ЛДУрЧП (3.2), а С – постоянная, то также является решением этого уравнения.

3. Если является решением линейного неоднородного дифференциального уравнения в частных производных

,

а − решением соответствующего однородного уравнения

,

то являются решениями неоднородного ЛДУрЧП.

Метод характеристик приведения к каноническому виду.

В качестве одного из возможных методов решения ЛДУрЧП рассмотрим метод упрощения дифференциального уравнения, осуществляемый с помощью перехода к новым координатам, в которых это уравнение будет иметь наиболее простой (так называемый канонический) вид. Отметим, что упрощение уравнений (3.1) и (3.2) состоит в упрощении его главной части . Опишем алгоритм приведения к каноническому виду.

С помощью подходящего выбора новых независимых координат получим новое уравнение, равносильное исходному. Для того чтобы сделать замену переменных в исходном уравнении, необходимо учесть то, что в новых переменных искомая функция , и воспользоваться формулами:

;

;

; (3.3)

;

.

Естественно возникает вопрос, как выбрать и , чтобы уравнение в этих переменных имело наиболее простую форму?

Теорема 1. Пусть есть частное решение дифференциального уравнения I порядка:

, (3.4)

тогда соотношение есть общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения

. (3.5)

Теорема 2 (обратная к теореме 1). Пусть есть общий интеграл дифференциального уравнения , тогда функция удовлетворяет уравнению (3.4).

Уравнение (3.5) называется характеристическим уравнением для уравнения (3.2), а решения уравнения (3.5) – его общие интегралы − называются характеристиками. Чтобы уравнение (3.2) приобрело канонический вид:

, (3.6)

характеристики и выбираются на основании теорем 1 и 2. Т.е. полагая и , где равенства , определяют общие интегралы уравнения (3.5), некоторые коэффициенты уравнения (3.6) станут равны нулю ( , либо , либо ).

В зависимости от коэффициентов все ЛДУрЧП делятся на 3 типа:

1) уравнение (3.2) в точке называется уравнением гиперболического типа, если

;

2) уравнение (3.2) в точке называется уравнением параболического типа, если

;

3) уравнение (3.2) в точке называется уравнением эллиптического типа, если

.

Заметим, что после деления обеих частей (3.5) на характеристическое уравнение приводится к квадратному уравнению относительно :

. (3.7)

Тип уравнения (3.2) определяет знак дискриминанта , в зависимости от которого получим три возможные ситуации:

1) Пусть , т.е. уравнение – гиперболического типа. Поскольку в этом случае дискриминант характеристического уравнения , то его решения имеют вид , что приводит к двум дифференциальным уравнениям, которые позволяют определить две действительные и различные совокупности характеристик . Полагая , путем применения формул (3.3) уравнение (3.2) приводится в координатах к каноническому виду:

а) или

б) , где .

2) Если (параболический тип уравнения), то дискриминант уравнения (3.7) равен нулю. Тогда характеристическое уравнение имеет только одно семейство характеристик , получаемое после решения дифференциального уравнения . В данном случае полагаем , а в качестве выбираем любую функцию (например, или ), лишь бы она была линейно независимой с функцией , тогда уравнение (3.2) приводится к каноническому виду: .

3) Если (эллиптический тип уравнения), то дискриминант уравнения (3.7) будет отрицательным. В этом случае решения уравнения (3.7) будут комплексными: . Решая указанные дифференциальные уравнения, получим два семейства комплексно-сопряженных характеристик: , где . Полагая и , уравнение (3.2) приводим к каноническому виду .

Замечание. Если в уравнении (3.2) , а коэффициенты A, B, C – постоянные числа, то ЛДУрЧП II порядка примет вид . Тогда в зависимости от типа уравнения можно получить общее решение следующим способом:

а) Если , то исходное уравнение является уравнением гиперболического типа и согласно методу характеристик приводится к уравнению, записанному в каноническом виде

.

Для решения полученного уравнения введем обозначение , тогда уравнение перепишется в виде . Откуда путем интегрирования по переменной ξ при фиксированном значении переменной η получим (где − произвольная функция переменной η), т.е. . После повторного интегрирования по переменной η приходим к (где − произвольная функция переменной ξ). Обозначим , в итоге получим . Возвращаясь к переменным x, y, заключаем, что , где − уравнения характеристик.

б) Если (параболический тип уравнения), то по методу характеристик , где - общий интеграл характеристического уравнения, а − любая функция, линейно независимая с (например, или ). Канонический вид в этом случае:

.

Для решения этого уравнения обозначим . Тогда , откуда , т.е. ( − произвольная функция переменной ξ). Интегрируя последнее равенство по переменной η при фиксированном значении ξ, получим ( − произвольная функция переменной ξ). Если в качестве переменной выбрана функция ,то возвращаясь к переменным x и y общее решение примет вид , где − произвольные функции своих аргументов.

в) Если (эллиптический тип уравнения), то канонический вид в данном случае: . Решение уравнений такого вида здесь приводить не будем.

Пример 1 (задача Коши). Решить уравнение с начальными условиями .

Решение: Требуется определить функцию , удовлетворяющую данному уравнению и данным начальным условиям. Здесь . В этом случае , следовательно, исходное уравнение − гиперболического типа. Характеристическое уравнение имеет вид: . Поскольку , то характеристическое уравнение приводится к квадратному уравнению относительно : . Т.к. , то .

В итоге получаем совокупность, приводящую к общим интегралам характеристического уравнения:

.

Перейдем к новым координатам , где .

Используя формулы (3.3), получим ; ; ; ; . Подставляя полученные выражения в исходное уравнение, получим каноническое уравнение . Откуда , а значит − общее решение.

Найдем частное решение. Для этого в общее решение подставим начальные условия. 1) ; т.е. ;

2) ; ; . Подставляя найденные функции в общее решение, приходим к решению данной задачи Коши

.

Проверка правильности решения проводится подстановкой.

Ответ: .

Пример 2. (задача Коши) Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Искомая функция - ; характеристическое уравнение имеет вид , решением которого является одна характеристика , в качестве второй новой переменной выбираем функцию . В итоге . Применяя формулы (3.3), получим ; ; ; ; .

Подстановка указанных функций в исходное уравнение приводит к каноническому виду . Решая последнее уравнение, получим , а, следовательно, общее решение: .

Найдем частное решение:

; т.е. .

Решая данную систему, получим .

Следовательно, решением исходной задачи Коши является функция

.

Ответ: .

Пример 3. Найти канонический вид уравнения: .

Решение. Исходное уравнение является ЛДУрЧП (3.2), где . Тогда . Следовательно, данное уравнение является уравнением гиперболического типа.

Составляем уравнение характеристик: , решая которое получим . Интегрируя полученные уравнения, приходим к двум семействам вещественных характеристик: . Вводим новые независимые переменные по формулам: . Используя формулы (3.3) замены переменных в дифференциальном уравнении, имеем:

,

.

Подставив найденные значения вторых производных в рассматриваемое дифференциальное уравнение, получим: , т.е. канонический вид .

Ответ: .

Пример 4. Найти канонический вид уравнения:

.

Решение: Данное уравнение является ЛДУрЧП, где

.

Поскольку , исходное уравнение является уравнением гиперболического типа.

Составим характеристическое уравнение:

,

решая которое, получим и . Интегрируя полученные уравнения, находим два семейства действительных характеристик: .

Введем новые переменные по формулам: . Используя формулы вычисления производных сложной функции и по переменным х, у в новых переменных (3.3), получаем:

;

;

;

;

.

Подставив полученные выражения производных функции и по переменным х, у в исходное уравнение и сгруппировав подобные слагаемые, получаем равенство:

После преобразований приходим к уравнению: , т.е. . Учитывая, что в силу выполненной выше замены переменных, получаем канонический вид .

Ответ: .

Пример 5. Найти канонический вид уравнения:

.

Решение: Данное уравнение имеет вид ЛДУрЧП, для которого . Поскольку: ,то уравнение является уравнением параболического типа. Составляем характеристическое уравнение: , решая которое получаем . Следовательно, .

Выполним в данном уравнении замену переменных по формулам: ( , т.е. эти функции действительно линейно независимы)

Используя формулы (3.3) вычисления частных производных сложной функции, получаем:

; ; ; .

Подставив полученные значения производных в исходное уравнение, приводим его к каноническому виду: , т.е. .

Ответ: .

Пример 6. Найти канонический вид уравнения:

.

Решение: Для данного ЛДУрЧП . Т.к. во всех точках, не лежащих на прямых и . Следовательно, в любой области, не содержащей точки, лежащие на прямых и , исходное уравнение является уравнением эллиптического типа. Составляем уравнение характеристик: , т.е. .

Интегрируя полученные уравнения как уравнения с разделяющимися переменными, получим два семейства комплексно-сопряженных характеристик: и .

Выполним в исходном уравнении замену переменных: . Используя правила (3.3) вычисления частных производных сложной функции и производя соответствующие вычисления, из исходного уравнения получим:

, т.е. .

Сокращая обе части уравнения на , находим канонический вид уравнения .

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения

Найти канонический вид уравнений:

.

Ответ: .

.

Ответ: .

.

Ответ: .

.

Ответ: .

.

Ответ: .

Ответ: или .

.

Ответ: .

.

Ответ: .

.

Ответ: .

.

Ответ: .

.

Ответ: .

Задача Штурма−Лиувилля, свойства ее решений

Задача Штурма−Лиувилля, или задача о собственных значениях, возникает при решении уравнений в частных производных методом Фурье (этот метод будет рассмотрен ниже).

Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение II порядка в виде , где , λ – параметр; – непрерывно дифференцируемая на функция, а – непрерывная на функция.

Будем рассматривать краевые условия следующих типов:

а)

б)

в)

(III, смешанного типа).

г)

Поставим задачу поиска таких значений параметра λ, при которых существуют ненулевые решения дифференциального уравнения , удовлетворяющие краевым условиям одного из 4-х типов. Значения λ, при которых существуют ненулевые решения, называются собственными значениями, а соответствующие им решения – собственными функциями. Задача нахождения собственных значений и собственных функций называется задачей Штурма−Лиувилля. В зависимости от типа краевых условий задачи Штурма-Лиувилля делятся на три вида:

А) I краевая задача – задача нахождения собственных функций, удовлетворяющих краевым условиям первого типа;

Б) II краевая задача – задача нахождения собственных функций, удовлетворяющих краевым условиям второго типа;

В) III краевая задача – задача нахождения собственных функций, удовлетворяющих краевым условиям третьего (смешанного) типа.

Отметим основные свойства собственных значений и собственных функций.

1. Существует счетное множество значений параметра ( ) которым соответствуют собственные функции.

2. Собственные функции на , соответствующие различным значениям , ортогональны, т.е. при .

3. Всякая функция , удовлетворяющая краевым условиям одного из 4-х типов и имеющая непрерывные вторые производные, раскладывается в абсолютно сходящийся ряд по собственным функциям , т.е. , где .

Решение задачи Штурма−Лиувилля

Рассмотрим частный случай задачи Штурма−Лиувилля при , т.е. будем решать дифференциальное уравнение вида

, (4.1)

где , а . Будем решать эту задачу для наиболее типичных краевых условий.

Требуется найти функцию нетождественно равную 0, удовлетворяющую уравнению (4.1) и граничным условиям а), б), в), г). Будем искать решение в виде . Подставляя эту функцию вместе с производными в уравнение (4.1), получаем характеристическое уравнение . Тогда общее решение примет вид: , где − произвольные постоянные, .

Рассмотрим, например, II краевую задачу (б): . Из общего решения следует ; тогда

,

.

Полученные равенства представляют собой систему линейных уравнений относительно :

.

Подставим , полученное из первого уравнения, во второе уравнение: . Чтобы последнее уравнение имело ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы . По формуле Эйлера имеем: ℤ. А следовательно , откуда . То есть , или . Полученные числа называются собственными значениями: (можем считать, что ).

Найдем собственные функции . Т.к. , то . По формуле Эйлера , поэтому . Поскольку собственные функции определяются с точностью до постоянной, то можно считать , а значит, собственные функции имеют вид: , .

По свойствам собственных функций для любой дважды дифференцируемой непрерывной функции имеем , где коэффициенты представляют собой коэффициенты разложения в ряд Фурье по косинусам.

В случае I краевой задачи (а) : собственные значения примут вид , ; а собственные функции . Аналогично разобранному случаю, для любой дважды дифференцируемой непрерывной функции имеем , где − коэффициенты разложения в ряд Фурье по синусам.

Для случая в) III краевой задачи имеем и . Т.е. получаем систему линейных уравнений относительно :

.

Поскольку из первого уравнения , то , а т.к. , то . Откуда , т.е. , или . В итоге , а именно , где .

Т.к. , то . Аналогично предыдущим случаям, получаем собственные функции .

Для случая г) III краевой задачи имеем и , что дает систему уравнений:

, откуда , т.е. .

Следовательно , или . Получаем, что ℤ. В итоге собственные значения примут вид , где , а собственные функции .

Задачи для самостоятельного решения:

Найти собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля:

, , .

Ответ: , .

, , .

Ответ: , .

, , .

Ответ: , .

, , .

Ответ: , .

, , .

Ответ: , .

, , .

Ответ: , .

, , .

Ответ: , .

, , .

Ответ: , .

Метод Фурье решения смешанной задачи.

Исследуем решение простейших уравнений гиперболического и параболического типов.

А) Рассмотрим задачу решения волнового уравнения

( (5.1)

с граничными условиями

(5.2)

при начальных условиях

( ), (5.3)

где - непрерывные функции, заданные на промежутке . Задача нахождения решения уравнения (5.1), удовлетворяющее указанным начальным и граничным условиям, называется смешанной задачей для волнового уравнения (5.1).

Будем искать решение уравнения (5.1) с помощью метода разделения переменных, т.е. строим решение в виде

, (5.4)

где функция зависит от одной переменной x, а функция - зависит только от переменной t.

Подставляя в уравнение (5.1) решение, записанное в виде (5.4), получим равенство:

.

Разделяем в полученном равенстве переменные (с учетом того, что ищем не тождественно равное нулю решение):

. (5.5)

Поскольку при подстановке решения в исходное уравнение полученное равенство должно выполняться при всех значениях переменных x, t, то равенство (5.5) возможно тогда и только тогда, когда обе части его равны одной и той же постоянной, которую обозначим (‒λ). После приравнивания обеих частей равенства (5.5) указанной константе, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

Запишем граничные условия (5.2) в терминах новых искомых функций и :

.

Поскольку при всех t, то граничные условия для функции примут вид:

.

В итоге получаем задачу Штурма-Лиувилля:

(5.8)

Решением задачи (5.8) являются собственные числа ( ℕ), каждому из которых соответствует собственная функция

(5.9)

Подставляя найденные числа в уравнение (5.7), получим линейной однородное дифференциальное уравнение для нахождения функций : , решая которое методом Эйлера, находим

. (5.10)

В итоге частные решения уравнения (5.1) принимают вид .

Идея метода Фурье состоит в том, что общее решение задачи (5.1) ищется в виде суммы частных решений :

. (5.11)

Чтобы окончательно найти решение остается лишь доопределить коэффициенты и функции так, чтобы решение (5.11) удовлетворяло начальным условиям (5.3). Предварительно вычислив частную производную и подставив в и в , с учетом (5.3) получаем:

(5.12)

Формулы (5.12) представляют собой разложения функций и в ряд Фурье по синусам в интервале , т.е.

(5.13)

Подставляя найденные по формулам (5.13) коэффициенты и в выражение (5.11), получаем общее решение смешанной задачи для волнового уравнения.

Пример 1. Решить задачу о свободных колебаниях конечной однородной струны, закрепленной на концах и , если начальное отклонение струны имеет форму параболы с уравнением , а начальная скорость точек струны равна нулю (коэффициент a считать равным 9).

Решение: пусть - искомая функция, описывающая отклонение струны от положения равновесия в точке с координатой x в момент времени t. Тогда эта функция удовлетворяет волновому уравнению (5.1), с граничными условиями (5.2) (которые выражают закрепленность концов струны) и начальными условиями (5.3) (которые выражают начальную форму и начальную скорость точек струны), где , , , .

Используя формулу (11), получим, что решение данной задачи имеет вид

. (5.14)

Для нахождения и воспользуемся системой (5.12):

.

Следовательно, используя (5.13), получим:

(n∈ℕ),

откуда следует, что , а для нахождения коэффициентов необходимо вычислить интегралы:

Подставляя найденные коэффициенты в (5.14), получаем решение

.

Ответ: .

Пример 2. Для струны, закрепленной на концах и , найти решение волнового уравнения

,

удовлетворяющее начальным условиям:

;

.

Решение: по условию задачи: , , , . С учетом формулы (5.11) решение указанной смешанной задачи примет вид:

. (5.15)

Поэтому из (5.13) получим систему:

(5.16)

Поскольку система собственных функций обладает свойством ортогональности, то

, если . (5.17)

Поэтому для всех натуральных чисел .

При получаем:

.

.

Учитывая свойство ортогональности (5.17), заметим, что

для всех

для всех .

Следовательно, все коэффициенты (n∈ℕ), кроме и , равны нулю.

При имеем:

.

При :

.

Подставляя найденные коэффициенты в (5.15), получим

.

Ответ: .

Б) Рассмотрим задачу решения уравнения теплопроводности

( (5.18)

с граничными условиями

(5.19)

при начальном условии

( ), (5.20)

где - непрерывные функции, заданные на промежутке . Задача нахождения решения уравнения (5.18), удовлетворяющее указанным начальным и граничным условиям (5.19) и (5.20), называется смешанной задачей для уравнения теплопроводности (5.18).

Будем искать решение уравнения (5.18) с помощью метода разделения переменных, т.е. строим решение в виде

, (5.21)

где функция зависит от одной переменной x, а функция - зависит только от переменной t.

Подставляя в уравнение (5.18) решение, записанное в виде (5.21), получим равенство:

.

Разделяем в полученном равенстве переменные (с учетом того, что ищем не тождественно равное нулю решение):

. (5.22)

Поскольку при подстановке решения в исходное уравнение полученное равенство должно выполняться при всех значениях переменных x, t, то равенство (5.22) возможно тогда и только тогда, когда обе части его равны одной и той же постоянной, которую обозначим (‒λ). После приравнивания обеих частей равенства (5.22) указанной константе, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

Запишем граничные условия (5.19) в терминах новых искомых функций и :

.

Поскольку при всех t, то граничные условия для функции примут вид:

.

В итоге получаем задачу Штурма-Лиувилля:

(5.25)

Решением задачи (5.25) являются собственные числа ( ℕ), каждому из которых соответствует собственная функция

. (5.26)

Подставляя найденные числа в уравнение (5.24), получим линейной однородное дифференциальное уравнение для нахождения функций : , решая которое путем разделения переменных, находим

. (5.27)

В итоге частные решения уравнения (5.18) принимают вид .

Идея метода Фурье состоит в том, что общее решение задачи (5.18) ищется в виде суммы частных решений :

. (5.28)

Чтобы окончательно найти решение остается лишь доопределить коэффициенты функции так, чтобы решение (5.28) удовлетворяло начальному условию (5.20). Подставив в значение , с учетом (5.20) получаем:

(5.29)

Формула (5.29) представляет собой разложение функции в ряд Фурье по синусам в интервале , т.е.

, ( ℕ) (5.30)

Подставляя найденные по формулам (5.20) коэффициенты в выражение (5.28), получаем общее решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности.

Замечание. Существуют методы решения неоднородного уравнения теплопроводности и с ненулевыми краевыми условиями , , они также основаны на рассмотренном методе Фурье (методе разделения переменных). Эти приемы здесь рассматривать не будем.

Пример 3. Найти функцию, определяющую распределение температуры внутри стержня длины 5, на концах которого поддерживается нулевая температура, а начальная температура стержня задана функцией (коэффициент a считать равным 2).

Решение: пусть - искомая функция, описывающая распределение температуры внутри стержня в точке с координатой x в момент времени t. Тогда эта функция удовлетворяет уравнению теплопроводности (5.18), с граничными условиями (5.19), выражающими тот факт, что на концах стержня и , и начальным условием (5.20), определяющим начальную температуру стержня, где , , .

Используя формулу (28), получим, что решение данной задачи имеет вид

(5.31)

Для нахождения воспользуемся формулами (5.30):

(n∈ℕ),

Подставляя найденные коэффициенты в (5.31), получаем решение

.

Ответ: .

Замечание. В зависимости от задач граничные условия ((5.2), (5.19)) могут иметь другой вид, нежели тот, который описан в пунктах А) и Б), в этом случае собственные числа и собственные функции ((5.9), (5.26)) соответствующих задач Штурма-Лиувилля ((5.8), (5.25)) будут определяться иначе, а именно:

а) если граничные условия принимают вид , то соответствующая задача Штурма-Лиувилля будет иметь решение , , n∈ℕ∪<0>;

б) если граничные условия принимают вид , то соответствующая задача Штурма-Лиувилля будет иметь решение , , n∈ℕ∪<0>;

в) если граничные условия принимают вид , то соответствующая задача Штурма-Лиувилля будет иметь решение , , n∈ℕ∪<0>.

Граничные условия вида а) в случае волновых уравнений интерпретируются как подвижность обоих концов струны, а условия б) и в) означают то, что один конец струны закреплен, а другой – нет. Для уравнений теплопроводности условия типа а) означают теплоизолированность концов стержня от окружающей среды, а условия типа б) и в) означают то, что один конец стержня теплоизолирован, а другой поддерживается при нулевой температуре.

В связи с указанными изменениями общее решение соответствующих смешанных задач примет другой вид по сравнению с тем, который описан в пунктах А) и Б).

Задачи для самостоятельного решения:

Найти закон свободных колебаний струны, закрепленной на концах и , если в начальный момент времени форма струны имеет вид ломаной OAB, где O(0; 0), A(2; -0,1), B(3; 0). Найти форму струны в момент времени t, если начальные скорости точек равны нулю.

Ответ: .

Найти закон свободных колебаний (в случае ) струны длины 1, расположенной на отрезке , если в начальный момент времени струне придали форму параболы

,

а затем струну отпустили с начальной скоростью, равной нулю.

Ответ: .

В полуполосе , для уравнения

решить смешанную задачу:

,

.

Ответ: .

Найти закон распределения температуры внутри стержня, у которого левый конец (при ) поддерживают при постоянной нулевой температуре, а правый конец (при ) теплоизолирован от окружающей среды, т.е. . Причем начальная температура стержня задана функцией

.

Ответ: .

Найти решение смешанной задачи

Ответ: .

Найти закон распределения температуры в стержне длиной π с теплоизолированной боковой поверхностью, если на концах стержня и поддерживается нулевая температура, а начальная температура стержня задана функцией .



Площадь треугольника
Преобразование системы координат